Otsekorrutis

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Otsekorrutis defineeritakse matemaatikas kahe teatud liiki objekti jaoks teatava kolmanda sama liiki objektina. Defineerime otsekorrutise kõigepealt hulkade, siis teiste matemaatiliste objektide jaoks.

Hulkade otsekorrutis[muuda | muuda lähteteksti]

Kui on antud kaks hulka X ja Y, siis nende otsekorrutis ehk Descartes'i korrutis ehk Cartesiuse korrutis ehk ristkorrutis X × Y on kõikide niisuguste järjestatud paaride hulk, mille esimene liige on hulga X element ja teine liige on hulga Y element.

X × Y = { (x,y) | xX ja yY }

Näiteks kui X on hulk {A, K, E, S, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} ja Y on hulk {poti, ruutu, ärtu, risti}, siis nende hulkade otsekorrutis X × Y on hulk { (A, poti), (K, poti), ... (2, poti), (A, ärtu), ... (3, risti), (2, risti) }.

Kui A={a, b} ja B={c,d,e}, siis A×B = { (a, c), (a, d), (a,e), (b, c), (b, d), (b, e)}

Juhul kui X=Y, siis hulga X otsekorrutist iseendaga tähistatakse X2.

Teine näide on tasand , kus on kõikide reaalarvude hulk.

Kahe hulga otsekorrutise alamhulgad on definitsiooni kohaselt binaarsed seosed.

Mõned otsekorrutise omadused on:

  • Mis tahes hulga otsekorrutis tühja hulgaga on alati tühi hulk.
  • Kui X ja Y on lõplikud hulgad, siis hulga X × Y võimsus (elementide arv) on hulkade X ja Y võimsuste korrutis.
  • Hulk A × B on üldjuhul erinev hulgast B × A.


Kahe hulga otsekorrutise üldistamisel saame n hulga X1,... ,Xn (üldistatud) otsekorrutise:

X1 × ... × Xn = { (x1,... ,xn) | x1X1 ja ... ja xnXn }

Teine tähistusviis on

.

Otsekorrutist võib samastada hulgaga (X1 × ... × Xn–1) × Xn. See on n-korteežide hulk.

Juhul kui X1= ... =Xn=X, tähistatakse otsekorrutist Xn.

Üks niisuguse korrutise näide on kolmemõõtmeline eukleidiline ruum , kus on reaalarvude hulk.

Kui X={0,1}, siis X3 = X × X × X = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}.

Kui mõne i korral Xi=f, siis V1×V2×V3×....Vn = f.

Otsekorrutist nimetatakse René Descartes'i nime järgi ka Descartes'i ehk Cartesiuse korrutiseks. See mõiste sündis koos analüütilise geomeetriaga, kui Descartes võttis tarvitusele Descartes'i koordinaadid.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]