Vektorväli: erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

Reasisene

Viimane redaktsioon: 8. mai 2019, kell 12:37

Vektorväljaks nimetatakse vektoranalüüsis funktsiooni, mis seab eukleidilise ruumi (või lokaalselt eukleidilise ruumi) igale punktile vastavusse vektori.

Vektorväljad on füüsikas sageli mudeliks. Nendega modelleeritakse näiteks voolava aine voolamise kiirust (sealhulgas suunda) eri punktides, mingi jõu (näiteks magnetjõu või gravitatsioonijõu) tugevust ja suunda eri punktides.

Üldisel kujul defineeritakse (puutuja)vektorvälju muutkondadel muutkonna puutujakihtkonna lõigetena. Nad on teatud tüüpi tensorväljad muutujal.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Vektorväljad eukleidilise ruumi alamhulkadel[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu antud n-mõõtmelise eukleidilise ruumi $\mathbb {R} ^{n}$ lahtine ja sidus alamhulk S. Vektorväli on antud vektorfunktsiooniga $V_{x}:S\to \mathbb {R} ^{n}$ tavalistes eukleidilistes koordinaatides (x₁, ..., x_n). Kui hulgal S on veel teine koordinaadisüsteem y, siis uutes koordinaatides y avaldub seesama vektorväli kujul $V_{y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V_{x}$ . Seega ei ole vektorväli lihtsalt skalaarväljade kogum.

Kui vektorväli V on k korda pidevalt diferentseeruv funktsioon, siis öeldakse, et V on C^k-vektorväli.

Kui vektor on hulga S punktis A null ( $V(p)=0$ ), siis nimetatakse punkti A statsionaarseks punktiks.

n-mõõtmelises ruumis saab vektorvälja näitlikustada igale punktile rakendatud n-mõõtmelise vektori abil.

Olgu antud kaks hulgal S defineeritud C^k-vektorvälja V ja W ning hulgal S määratud reaalarvuliste väärtustega C^k-funktsioon f. Siis määravad skalaariga korrutamine ja vektorite liitmine

(fV)(p):=f(p)V(p)

(V+W)(p):=V(p)+W(p)

C^k-vektorväljade mooduli üle C^k-funktsioonide ringi.

Vektorväljad muutkondadel[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu antud muutkond M. Siis vektorväli muutkonnal M seab muutkonna igale punktile vastavusse puutujavektori selles punktis. Teiste sõnadega, muutkonna M iga punkti x jaoks on määratud mingi puutujavektor selles punktis. Abstraktsemas keeles väljendatuna tähendab see, et vektorväli on puutujakihtkonna TM lõige.

Kui vektorväli kujutab endast pidevat, diferentseeruvat, siledat või analüütilist funktsiooni, siis me nimetame vektorvälja vastavalt pidevaks, diferentseeruvaks, siledaks või analüütiliseks. Tähtis on märkida, et need omadused on koordinaadistiku vahetuse korral invariantsed, nii et neid võib avastada, kui kasutada lokaalset väljendust mis tahes pideval, diferentseeruval, siledal või vastavalt analüütilisel kaardil.

Kõikide vektorväljade kogumit muutkonnal M tähistatakse sageli Γ(TM) või C^∞(M,TM), eriti kui neid vaadeldakse puutujakihtkonna lõigetena; kõikide siledate vektorväljade kogumit tähistatakse mõnikord ka ${\mathfrak {X}}(M)$ .

@@ 1. rida: / 1. rida: @@
-[[Pilt:Vector field.svg|right|thumb|333px|Vektorväli, mis   tekib, kui tasandi punktile (''x'', y'') seatakse vastavusse vektor (&minus;''y'', ''x'').]]
+[[Pilt:Vector field.svg|pisi|333px|Vektorväli, mis  tekib, kui tasandi punktile (''x'', y'') seatakse vastavusse vektor (&minus;''y'', ''x'')]]
 '''Vektorväljaks''' nimetatakse [[vektoranalüüs]]is [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]i, mis seab [[eukleidiline ruum|eukleidilise ruumi]] (või [[lokaalselt eukleidiline ruum|lokaalselt eukleidilise ruumi]]) igale [[punkt (matemaatika)|punkt]]ile [[vastavusse seadmine|vastavusse]] [[vektor]]i.
-Vektorväljad on [[füüsika]]s sageli [[mudel]]iks. Nendega [[modelleerimine|modelleeritakse]] näiteks [[voolav aine|voolava aine]] voolamise [[kiirus]]t (sealhulgas suunda) eri punktides, mingi [[jõud|jõu]] (näiteks [[magnetjõud|magnetjõu]] või [[gravitatsioonijõud|gravitatsioonijõu]] tugevust ja suunda eri punktides.
+Vektorväljad on [[füüsika]]s sageli [[mudel]]iks. Nendega [[modelleerimine|modelleeritakse]] näiteks [[voolav aine|voolava aine]] voolamise [[kiirus]]t (sealhulgas suunda) eri punktides, mingi [[jõud|jõu]] (näiteks [[magnetjõud|magnetjõu]] või [[gravitatsioonijõud|gravitatsioonijõu]]) tugevust ja suunda eri punktides.
 Üldisel kujul defineeritakse (puutuja)vektorvälju [[muutkond]]adel muutkonna [[puutujakihtkond|puutujakihtkonna]] [[lõige]]tena. Nad on teatud tüüpi [[tensorväli|tensorväljad]] muutujal.
 == Definitsioon ==
 ===Vektorväljad eukleidilise ruumi alamhulkadel===
-Olgu antud [[n-mõõtmeline eukleidiline|''n''-mõõtmelise eukleidilise ruumi]] <math> \mathbb{R}^n</math> [[lahtine hulk|lahtine]] ja [[sidus hulk|sidus]] [[alamhulk]] ''S''. '''Vektorväli''' on antud    [[vektorfunktsioon]]iga
+Olgu antud [[n-mõõtmeline eukleidiline|''n''-mõõtmelise eukleidilise ruumi]] <math> \mathbb{R}^n</math> [[lahtine hulk|lahtine]] ja [[sidus hulk|sidus]] [[alamhulk]] ''S''. '''Vektorväli''' on antud  [[vektorfunktsioon]]iga
 <math> V_x: S \to \mathbb{R}^n</math>
-tavalistes eukleidilistes koordinaatides  (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>). Kui hulgal ''S'' on veel teine [[koordinaadisüsteem]] ''y'', siis uutes koordinaatides ''y'' avaldub seesama vektorväli kujul
+tavalistes eukleidilistes koordinaatides (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>). Kui hulgal ''S'' on veel teine [[koordinaadisüsteem]] ''y'', siis uutes koordinaatides ''y'' avaldub seesama vektorväli kujul
 <math>V_y := \frac{\partial y}{\partial x} V_x</math>. Seega ei ole vektorväli lihtsalt [[skalaarväli|skalaarväljade]] kogum.
-Kui vektorväli ''V'' on ''k'' korda  [[pidevalt diferentseeruv funktsioon]], siis öeldakse, et ''V'' on C<sup>''k''</sup>-vektorväli.
+Kui vektorväli ''V'' on ''k'' korda [[pidevalt diferentseeruv funktsioon]], siis öeldakse, et ''V'' on C<sup>''k''</sup>-vektorväli.
-Kui vektor on hulga ''S'' punktis ''A'' null (<math>V(p) = 0</math>), siis nimetatakse  punkti ''A'' '''statsionaarseks punktiks'''.
+Kui vektor on hulga ''S'' punktis ''A'' null (<math>V(p) = 0</math>), siis nimetatakse punkti ''A'' '''statsionaarseks punktiks'''.
 ''n''-mõõtmelises ruumis saab vektorvälja näitlikustada igale punktile rakendatud ''n''-mõõtmelise vektori abil.
-Olgu antud kaks hulgal ''S'' defineeritud C<sup>''k''</sup>-vektorvälja ''V'' ja ''W'' ning hulgal ''S'' määratud [[reaalarv]]uliste [[väärtus (matemaatika)|väärtus]]tega  C<sup>''k''</sup>-funktsioon ''f''. Siis määravad [[skalaariga korrutamine]] ja [[vektorite liitmine]]
+Olgu antud kaks hulgal ''S'' defineeritud C<sup>''k''</sup>-vektorvälja ''V'' ja ''W'' ning hulgal ''S'' määratud [[reaalarv]]uliste [[väärtus (matemaatika)|väärtus]]tega C<sup>''k''</sup>-funktsioon ''f''. Siis määravad [[skalaariga korrutamine]] ja [[vektorite liitmine]]
 :<math> (fV)(p) := f(p)V(p)</math>
@@ 25. rida: / 25. rida: @@
 :<math> (V+W)(p) := V(p) + W(p)</math>
-C<sup>''k''</sup>-vektorväljade [[moodul (algebra)|moodul]]i  üle C<sup>''k''</sup>-funktsioonide [[Ring (algebra)|ring]]i.
+C<sup>''k''</sup>-vektorväljade [[moodul (algebra)|moodul]]i üle C<sup>''k''</sup>-funktsioonide [[Ring (algebra)|ring]]i.
 ===Vektorväljad muutkondadel===
-[[Pilt:Vector sphere.svg|right|200px|thumb|Vektorväli [[kerapind|kerapinnal]]]]
+[[Pilt:Vector sphere.svg|pisi|Vektorväli [[kerapind|kerapinnal]]]]
-Olgu antud [[muutkond]] ''M''. Siis '''vektorväli''' muutkonnal ''M'' seab muutkonna igale punktile vastavusse [[puutujavektor]]i selles punktis. Teiste sõnadega, muutkonna ''M'' iga punkti ''x'' jaoks on määratud mingi [[puutujavektor]] selles punktis. Abstraktsemas keeles väljendatuna tähendab see, et vektorväli on [[puutujakihtkond|puutujakihtkonna]] T''M'' [[lõige]].
+Olgu antud [[muutkond]] ''M''. Siis '''vektorväli''' muutkonnal ''M'' seab muutkonna igale punktile vastavusse [[puutujavektor]]i selles punktis. Teiste sõnadega, muutkonna ''M'' iga punkti ''x'' jaoks on määratud mingi puutujavektor selles punktis. Abstraktsemas keeles väljendatuna tähendab see, et vektorväli on [[puutujakihtkond|puutujakihtkonna]] T''M'' [[lõige]].
-Kui vektorväli kujutab endast [[pidev funktsioon|pidevat]], [[diferentseeruv funktsioon|diferentseeruvat]], [[sile funktsioon|siledat]] või [[analüütiline funktsioon|analüütilist funktsiooni]], siis  me nimetame vektorvälja vastavalt pidevaks, diferentseeruvaks, siledaks või analüütiliseks. Tähtis on märkida, et need omadused on koordinaadistiku vahetuse korral invariantsed, nii et neid võib avastada, kui kasutada lokaalset väljendust mis tahes pideval, diferentseeruval, siledal või vastavalt analüütilisel [[kaart (topoloogia)|kaardil]].
+Kui vektorväli kujutab endast [[pidev funktsioon|pidevat]], [[diferentseeruv funktsioon|diferentseeruvat]], [[sile funktsioon|siledat]] või [[analüütiline funktsioon|analüütilist funktsiooni]], siis me nimetame vektorvälja vastavalt pidevaks, diferentseeruvaks, siledaks või analüütiliseks. Tähtis on märkida, et need omadused on koordinaadistiku vahetuse korral invariantsed, nii et neid võib avastada, kui kasutada lokaalset väljendust mis tahes pideval, diferentseeruval, siledal või vastavalt analüütilisel [[kaart (topoloogia)|kaardil]].
 Kõikide vektorväljade kogumit muutkonnal ''M'' tähistatakse sageli Γ(T''M'') või ''C''<sup>∞</sup>(''M'',T''M''), eriti kui neid vaadeldakse puutujakihtkonna lõigetena; kõikide siledate vektorväljade kogumit tähistatakse mõnikord ka <math>\mathfrak{X} (M)</math>.
 [[Kategooria:Lineaaralgebra]]