Moodul (algebra)

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Disambig gray.svg  See artikkel räägib moodulitest üle ringide üldse; sageli mõeldakse mooduli all unitaarset moodulit.

Mooduliks üle ringi nimetatakse üldalgebras vektorruumi üldistust, mille puhul "skalaarideks" ei võeta mitte korpuse, vaid ringi elemendid.

Moodul on ka Abeli rühma üldistus, sest Abeli rühm on moodul üle täisarvude ringi .

Moodulitel on tihe seos rühmade esituste teooriaga. Neil on keskne koht kommutatiivses algebras ja homoloogilises algebras ning nad on laialt kasutusel algebralises geomeetrias ja algebralises topoloogias.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu mis tahes (mitte tingimata kommutatiivne) ring. Tavaliselt eeldatakse, et ring on assotsiatiivne.

Üldjuhul eristatakse vasakpoolseid ja parempoolseid R-mooduleid.

Vasakpoolne -moodul on Abeli rühm koos kujutusega

[1]

mille puhul mis tahes elementide korral tingimused

1)
2)
3)

Parempoolne -moodul on Abeli rühm koos kujutusega

mille puhul mis tahes korral tingimused

1)
2)
3a)

Mis tahes parempoolset -moodulit saab vaadelda vasakpoolse R0-moodulina üle ringi R0, mis on antiisomorfne ringiga (ja ümberpöördult). Seetõttu võib üldisust kaotamata piirduda kas vasakpoolsete või parempoolsete -moodulitega (erinevust võib vaadelda tähistusviisi erinevusena).

Kui ring on kommutatiivne, siis taandub erinevus vasakpoolse ja parempoolse R-mooduli vahel täielikult kirjutusviisile, mistõttu räägitakse lihtsalt -moodulist.

Unitaarsed moodulid[muuda | muuda lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Unitaarne moodul.

Kui on ühikelemendiga assotsiatiivne ring (mida enamasti eeldatakse), siis sageli lisatakse veel üks tingimus:

4) (vasakpoolse mooduli korral)

või

4a) (vasakpoolse mooduli korral), kus on ringi ühikelement.

Kui see tingimus on täidetud, siis on tegemist vastavalt vasakpoolse või parempoolse unitaarse -mooduliga.

Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]

Moodulite teooria arenes välja ringiteooria üldistusena rühmade esituste teooriast, ringide esituste teooriast ja algebrate esituste teooriast.

Algselt uuriti ideaale, mis lõpuks üldistati mooduliteks.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Märkused[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Siin – nagu matemaatilises kirjanduses tavaline – langeb see tähistus kokku korrutamistehte tähistusega ringis .

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]