Muutkond

Allikas: Vikipeedia
Disambig gray.svg  See artikkel räägib geomeetria ja topoloogia mõistest; algebra mõiste kohta vaata artiklit Muutkond (algebra), keeleteaduse mõiste kohta vaata artiklit Muutkond (keeleteadus).

Kahemõõtmeline joonis, mis kujutab kõverat kolmemõõtmelises ruumis. See kõver on ühemõõtmeline muutkond ehk 1-muutkond.
Kahemõõtmeline joonis, mis kujutab Whiteheadi muutkonda, mis on kolmemõõtmeline muutkond.

Muutkonna mõistet geomeetrias võib intuitiivselt mõista üldistusena klassifikatsioonist, mille järgi kõver on ühemõõtmeline muutkond ja pind on kahemõõtmeline muutkond. n-mõõtmeline muutkond on ruum, mis on lokaalselt eukleidiline. Teiste sõnadega, muutkonna iga punkt kuulub mingisse piirkonda, mis näeb välja nagu eukleidiline ruum[1].

Möbiuse lehe mudel, mis on saadud pabeririba otste kokkukleepimisel. Äär on ühes tükis.

Muutkondi saab modelleerida kahte moodi:

Kõige lihtsamate muutkondade seas on tasand ja eukleidiline ruum. Neid on võimalik saada kokkukleepimise teel.

Raske on öelda, kes esimesena kõveraid või pindu uuris. Carl Friedrich Gaussil oli abstraktne pinna mõiste, aga n-mõõtmelise muutkonna üldine mõiste pärineb Bernhard Riemannilt. Muutkondi rakendatakse paljude matemaatika ja füüsika probleemide lahendamisel, sest nad pakuvad rohkem võimalusi kui vektorruumid. Viimaseid nimetatakse mõnikord lamedadeks ruumideks või eukleidilisteks ruumideks, et eristada neid muutkondadest kui üldjuhul kõveratest ruumidest.

Algebraline topoloogia püüab muutkondi (ja ka üldisemaid objekte) klassifitseerida, omistades igale muutkonnale invariante (mis võivad olla arvud või muud matemaatilised objektid), mis iseloomustab tema topoloogilisi omadusi.

Laialdaselt uuritakse täiendavate struktuuridega muutkondi, rakendades diferentsiaaltopoloogiat, diferentsiaalgeomeetriat, Riemanni geomeetriat ja sümplektilist geomeetriat.

Muutkondadele pööravad tähelepanu ka füüsikud. Nad on osutunud heaks vahendiks Albert Einsteini üldrelatiivsusteooria formaliseerimisel ning neid rakendatakse ka stringiteoorias. Ka klassikalises mehaanikas ei saada enam ilma nendeta läbi.

Sissejuhatus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Heaks näiteks muutkondade mõistmisel on raskused, mis tekivad Maa pinna kujutamisel tasandil. Sellepärast ongi muutkondadega seotud terminoloogiasse laenatud kartograafia valdkonna sõnu.

Kaardid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Maapinnal orienteerumiseks kasutatakse kaarte, millest on kokku pandud atlased. Kaardi äärel on järgmise kaardiga mõtteliseks kokkukleepimiseks vajalik info. Selliseks kokkukleepimiseks on tarvis teatud liiasust: näiteks võib Moskva figureerida nii Euroopa kui ka Aasia kaardil. Samamoodi saab muutkonna kirjeldamiseks kasutada matemaatilist kaardi ja atlase mõistet: kaardid on kogutud atlasesse, näidates, kuidas ühelt kardilt teisele üle minna. Gloobus annab tüüpilise muutkonna näite, sest teda saab kujutada geograafiliste kaartide kogumi abil.

Kerapind on Riemanni muutkond. Siin on näha "lõpmata väike" kolmnurk ja "suur" kolmnurk.

Kaart on muutkonna osa, mis on analoogne vektorruumi osaga; kaartide vahetused näitavad, kuidas need muutkondade osad omavahel koos käivad. Nii võib ringjoone kirjeldamisel võtta kaartideks kaared, mis osalt kattuvad; kaartide vahetus annab teada, kuidas toimub kattumise piirkonnas kokkukleepimine.

Muutkonda ei ole üldjuhul võimalik kirjeldada üheainsa kaardi abil, sest muutkonna globaalne ehitus erineb eeskujuks oleva ruumi ehitusest. Näiteks ei saa ükski "lame" kaart kogu Maad adekvaatselt kirjeldada. Muutkonnad on topoloogilised ruumid ja nende topoloogia on üheselt määratud vastavate atlastega.

Mõõde ja topoloogia[muuda | redigeeri lähteteksti]

Joonte näited:  ringjooned,  parabool,  hüperbool,  kolmanda astme kõver.

Esimene muutkonnaga seotud mõiste on tema mõõde. See näitab, mitu sõltumatut parameetrit tuleb fikseerida, et muutkonna punkt lokaalselt positsioneerida.

  • Jooned on ühemõõtmelised muutkonnad, sest asukoha iselomustamiseks piisab näiteks joone kaare pikkusest.
  • Pinnal on tarvis kaht koordinaati: nii tuleb punkti asukohta kerapinnal iseloomustada laiuse ja pikkusega nagu linna asukoha iseloomustamiseks gloobusel.
  • On palju 2-st suurema mõõtmega muutkondi, mida on raske graafiliselt kujutada. Neid ei saa esitada meie tavalises ruumis, mille mõõde on 3 (laius, pikkus, sügavus).

Kõigil muutkondadel ühe ja sama mõõtmega n ehk n'-muutkondadel on ühesugune lokaalne topoloogia. Definitsiooni kohaselt sarnaneb niisuguse muutkonna väike osa alati n-mõõtmelisele vektorruumile üle reaalarvude korpuse. Nii on joone väike osa sirge kõver analoog, pinna väike osa tasandi kõver analoog jne.

Muutkonnad erinevad omavahel globaalsete omaduste poolest. Näiteks koosneb joonisel punane muutkond kahest tõkestatud tükist (kahest ringjoonest) ning on ilmselt võimatu seda pidevalt deformeerides saada mõnd kolmest ülejäänud kõverast.

Teine näide: kerapind ja toori pind ei ole topoloogiliselt sarnased. Iga ringjoon kerapinnal lahutab kerapinna vähemalt kaheks mittelõikuvaks tükiks; toori pinnal on aga palju ringjooni, mis ei lahuta teda kaheks mittelõikuvaks tükiks. Üldisemalt võivad topoloogiat keerulisemaks teha augud, sangad jne.

Abstraktne muutkond ja alammuutkond[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kleini pudeli ebatäielikud esitused kolmemõõtmelises ruumis: need kujutavad eneselõikamist, millest tuleb abstraheeruda.

Tasandi või kolmemõõtmelise ruumi alamhulgad saab loomulikul moel varustada muutkonna struktuuriga: ringjoon, silinder, kerapind, Möbiuse leht jne. Neid nimetatakse alammuutkondadeks ehk sisestatud muutkondadeks. Peale selle räägitakse abstraktsetest muutkondadest, mis konstrueeritakse ilma, et neid vaadeldaks alammuutkondadena. Kõige lihtsam näide on n-mõõtmeline projektiivne ruum: see on lihtsalt kõigi selliste sirgete hulk, mis läbivad koordinaatide alguspunkti vektorruumis mõõtmega n + 1. Teine näide on Kleini pudel, mis on joonisel kujutatud ebatäielikul kujul. Näitlikustamiseks tuleb ette kujutada, et klaasissepp võtab tavalise pudeli, teeb põhja sisse augu, pikendab pudeli kaela, teeb selle kõveraks, ajab selle maagiliselt pudeli külje seest läbi ning ühendab augu kohast põhjaga.

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]