Kuldlõige

Kuldlõike konstrueerimine

Kuldlõige tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et suurem osa oleks kogu lõigu ja selle väiksema osa keskmine võrdeline.

Seda suhet saab väljendada matemaatilise konstandiga $\varphi$ (fii), mis on irratsionaalarv järgmise ligikaudse väärtusega:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,61803\,39887\,.$

Arvutus

Fail:Kuldl6ige.png

Lõigu a suhe b-sse on nagu a+b suhe a-sse.

Kaks positiivset arvu a ja b on kuldlõikes $\varphi$, kui

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.$

See võrrand defineerib üheselt $\varphi \,$. Parempoolne võrrand näitab, et $a=b\varphi$, ning saab teha asenduse vasakpoolses osas, saades

${\frac {b\varphi +b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b}}\,.$

Taandades b, saame tulemuseks

${\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi .$

Kuldlõige φ
Kahendsüsteemis	1,1001111000110111011...
Kümnendsüsteemis	1,6180339887498948482...
Kuueteistkümnendsüsteemis	1,9E3779B97F4A7C15F39...
Ahelmurd	$1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$
Algebraline kuju	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Võrrandi mõlema poole korrutamine $\varphi$-ga ning liikmete ümberpaigutamine annab:

$\varphi ^{2}-\varphi -1=0.$

Selle ruutvõrrandi ainus positiivne lahend on

$\varphi ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx 1,61803\,39887\,...$

Niisamuti kehtib ka valem:

${\frac {1}{\varphi }}={\varphi }-1$

Ühtegi teist sellist arvu ei leidu.

Kehtib ka

${\varphi }^{2}={\varphi }+1$

Fibonacci rida

Fibonacci rida algab arvudega 0 ja 1 ning edasi selle rea iga järgmine liige võrdub eelmise kahe liikme summaga. Riida näeb välja 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ... Mida edasi reas minna seda lädasemaks kahe kõrvutiasetseva suurem ja väiksema arvu jagatis arvule ${\varphi }$ läheneb.

Esteetika

Kuldlõige on loodusest miskipärast väga sageli leitav suhe. Nii on näiteteks päevalill ja inimese keha kuldlõikes. Ja seepärast pole mingi ime, et seda hakati kasutama mujal. Renessansi aegadest saadik on väga paljud kunsti ja arhitektuuri teosed kavandatud just kuldlõikest lähtudes. Kasutati seda küll tunduvalt varem – näiteks Egiptuse püramiidide puhul. Vanast ajast tuntud ehitiseks mille puhul kasutati kuldlõiget on ka Parthenon. Hilisemast ajast on tuntumateks teosteks arhitektuuris Notre Dame'i katedraal, kunstis Leonardo da Vinci "Vitruviuse mees" ning "Püha õhtusöömaaeg". Ka Stradivariuse viiulid on kuldlõikes. Tänapäeval aga andis kuldlõikele müstilise varjundi Dan Brown oma "Da Vinci koodiga".

Vaata ka

• Kompositsioon