Lineaarne diferentsiaalvõrrand

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Lineaarne diferentsiaalvõrrand on diferentsiaalvõrrand, mis on lineaarne otsitava funktsiooni ja selle kõigi tuletiste (või osatuletiste) suhtes.[1] Üldiselt saab iga lineaarse diferentsiaalvõrrandi esitada kujul

,

kus diferentsiaaloperaator L on lineaarne, y on otsitav funktsioon (või funktsioonidest moodustatud vektor) ja g on y-st sõltumatu funktsioon (või funktsioonidest moodustatud vektor), mida nimetatakse vabaliikmeks. Operaatori L lineaarsus tähendab, et , kus ja on arvud ja ning funktsioonid. Lineaarsusest järeldub, et otsitav funktsioon (otsitavad funktsioonid) ja kõik selle tuletised (või osatuletised) esinevad võrrandis esimeses astmes.

Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid jagunevad omakorda homogeenseteks diferentsiaalvõrranditeks, millel vabaliige puudub (g = 0), ja mittehomogeenseteks dinferentsiaalvõrranditeks, millel on vabaliige olemas (g ≠ 0).

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Näideteks hariliku ühe otsitava funktsiooniga y n-järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju on

,

kus funktsiooni , ,..., ja on tuntud funktsioonid. Viimasele võrrandile vastav diferentsiaaloperaator on

,

kus on tuletise võtmise operaator, st , jne.

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite oluliseks omaduseks on, et nende lahendid moodustavad mõne sobiva funktsioonide ruumi afiinse alamruumi.

Homogeensete lineaarsete võrrandite lahendid moodustavad vektorruumi, st lahendite liitmisel ja nende arvuga korrutamisel saadav funktsioon on samuti lahend. Tõepoolest, olgu ja homogeense võrrandi lahendid. Vastavalt lineaarsuse tingimusele kehtib , st ka lahendab võrrandi .

Kui on mittehomogeense võrrandi ja on vastava homogeense võrrandi mõni vabalt valitud lahend, siis on samuti mittehomogeense võrrandi lahend, st .

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]