Alamhulk

Venni diagramm: A on B alamhulk ehk B on A ülemhulk

Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks, kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A ⊂ B või A ⊆ B. Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A ⊂ B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkade vahelist binaarset seost ⊂ nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks.

Omadused

Definitsioonist järelduvad järgmised omadused:

1. Refleksiivsus: iga hulk on iseenda alamhulk,

   $A \subset A$

2. Antisümmeetrilisus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk, siis need hulgad on võrdsed,

   $A \subset B \ \wedge \ B \subset A \ \Rightarrow \ B = A$

3. Transitiivsus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis on A ka hulga C alahulk.

   $A \subset B \ \wedge \ B \subset C \ \Rightarrow \ A \subset C$

4. Tühi hulk ø on iga hulga alamhulk.

   $\varnothing \subset A$

Omadused (1)–(3) ütlevad, et ⊂ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil, ning omadus (4) ütleb, et ø on selle järjestuse vähim element.

Tähistusest

Kui hulk B on hulga A alamhulk, mis ei ühti hulgaga A, siis nimetatakse seda hulga A pärisalamhulgaks. Viimase asjaolu rõhutamiseks kasutatakse mõnikord tähistust

$A \subsetneq B$.

Kui soovitakse rõhutada omaduse (1) kehtivust, kasutatakse tähistust

$A \subseteq B$,

kusjuures mõned autorid võivad sel juhul kirjapildiga ⊂ tähistada just pärisalamhulgaks olemist. Viimane tähistusviis on siiski pigem erand kui reegel.

Kasutusel on ka "ümber pööratud" tähistus

$A \supset B$.

Sel juhul öeldakse, et A on B ülemhulk, mis on samaväärne sellega, et B on A alamhulk.

Näited

• Hulk {1, 2} on hulga {1, 2, 3} pärisalamhulk.
• Hulk {1, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} pärisalamhulk.
• Hulk {1, 2, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk, kuid mitte pärisalamhulk.
• Hulk {1, 2, 4, 5} ei ole hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk.
• Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga pärisalamhulk.
• Naturaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga pärisalamhulk.
• Ratsionaalarvude hulk on reaalarvude hulga pärisalamhulk.
• Täisarvude hulk ei ole naturaalarvude hulga alamhulk.
• Hulk {x : x on 2000-st suurem algarv} on hulga {x : x on 1000-st suurem paaritu arv} pärisalamhulk.
• Ruutude hulk on rombide hulga pärisalamhulk ja ristkülikute hulga pärisalamhulk.
• Rombide hulk ei ole ristkülikute hulga alamhulk.
• Mis tahes hulk on iseenda alamhulk, kuid mitte iseenda pärisalamhulk.
• Tühi hulk $\varnothing$ on mis tahes hulga alamhulk. (See on tühi tõde.) Tühi hulk on alati pärisalamhulk, välja arvatud iseenda puhul.

Karakteristlik funktsioon

Hulga B alamhulga $A$ saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni $\chi_A\ : B\rightarrow\{0,1\}$ kaudu:

$\forall b\in B, \chi_A(b)=1\Leftrightarrow b\in A$.

χ_A(b) võrdub 1, kui b on hulga A element, vastasel korral võrdub 0.

Vaata ka

• Potentshulk ehk kõigi alamhulkade hulk