Alamhulk

Allikas: Vikipeedia
Venni diagramm: A on B alamhulk ehk B on A ülemhulk

Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks[1], kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A ⊂ B või A ⊆ B[2]. Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A ⊂ B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkade vahelist binaarset seost ⊂ nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Definitsioonist järelduvad järgmised omadused:

  1. Refleksiivsus: iga hulk on iseenda alamhulk,
    A \subset A
  2. Antisümmeetrilisus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk, siis need hulgad on võrdsed,
    A \subset B \ \wedge \ B \subset A \ \Rightarrow \ B = A
  3. Transitiivsus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis on A ka hulga C alahulk.
    A \subset B \ \wedge \ B \subset C \ \Rightarrow \ A \subset C
  4. Tühi hulk ø on iga hulga alamhulk.
    \varnothing \subset A

Omadused (1)–(3) ütlevad, et ⊂ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil, ning omadus (4) ütleb, et ø on selle järjestuse vähim element.

Tähistusest[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui hulk B on hulga A alamhulk, mis ei ühti hulgaga A, siis nimetatakse seda hulga A pärisalamhulgaks. Viimase asjaolu rõhutamiseks kasutatakse mõnikord tähistust

 A \subsetneq B .

Kui soovitakse rõhutada omaduse (1) kehtivust, kasutatakse tähistust

 A \subseteq B ,

kusjuures mõned autorid võivad sel juhul kirjapildiga ⊂ tähistada just pärisalamhulgaks olemist. Viimane tähistusviis on siiski pigem erand kui reegel.

Kasutusel on ka "ümber pööratud" tähistus

A \supset B.

Sel juhul öeldakse, et A on B ülemhulk, mis on samaväärne sellega, et B on A alamhulk.

Näited[muuda | redigeeri lähteteksti]

Karakteristlik funktsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Hulga B alamhulga A saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni \chi_A\ : B\rightarrow\{0,1\} kaudu:

\forall b\in B, \chi_A(b)=1\Leftrightarrow b\in A.

χA(b) võrdub 1, kui b on hulga A element, vastasel korral võrdub 0.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)
  2. P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 6