Abeli rühm

Allikas: Vikipeedia

Abeli rühmaks (Niels Henrik Abeli järgi) ehk kommutatiivseks rühmaks nimetatakse matemaatikas rühma G, mille korrutamistehe (tähis *) on kommutatiivne, st

a * b = b * a iga  a, b  \in G korral.

Näiteks positiivsed reaalarvud moodustavad arvude korrutamise suhtes Abeli rühma. See rühm on isomorfne kõikide reaalarvude rühmaga, milles rühma korrutamistehteks on arvude liitmine.

Kommutatiivse rühma vastandmõiste on mittekommutatiivne rühm.

Aditiivne ja multiplikatiivne tähistus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tavaliselt kasutatakse Abeli rühmade puhul aditiivset tähistust: rühma korrutamistehe on +, ühikelement on 0 ja elemendi a pöördelement on –a.

Tähistus Tehe Ühikelement Astmed Pöördelement Otsesumma/otsekorrutis
Liitmine a + b 0 na a GH
Korrutamine a * b ehk ab e ehk 1 an a−1 G × H

Näiteid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Mis tahes tsükliline rühm G on Abeli rühm, sest kui x ja y on rühma G elemendid, siis xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. Seetõttu on ka rühm Z (täisarvude rühm liitmise suhtes) ja Z/nZ (jäägiklasside rühm modulo n liitmise suhtes) Abeli rühmad.

Reaalarvud moodustavad liitmise suhtes Abeli rühma; nullist erinevad reaalarvud moodustavad korrutamise suhtes Abeli rühma. Ühikelemendiga kommutatiivses assotsiatiivses ringis võib ka üldjuhul välja tuua kaks Abeli rühma: kõikide elementide aditiivne rühm ja pööratavate elementide multiplikatiivne rühm.

Konstruktsioonid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kommutatiivsuse pärandumine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Abeli rühmade alamrühmad, faktorrühmad, korrutised ja otsesummad on Abeli rühmad.

Perioodiline osa[muuda | redigeeri lähteteksti]

Abeli rühma kõik lõplikku järku elemendid moodustavad alamrühma, mida nimetatakse selle Abeli rühma perioodiliseks osaks ehk torsiooniks ehk torsioonalamrühmaks ehk maksimaalseks torsioonalamrühmaks ehk maksimaalseks perioodiliseks alamrühmaks.

Faktorrühmas perioodilise osa järgi ei ole lõplikku järku elemente peale 0.

Abeli rühmade liike[muuda | redigeeri lähteteksti]

Perioodiline Abeli rühm[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Perioodiline Abeli rühm

Perioodiline Abeli rühm on Abeli rühm, mis koosneb ainult lõplikku järku elementidest.

Abeli rühma perioodiline osa on tema maksimaalne alamrühm, mis on perioodiline Abeli rühm.

Torsioonivaba Abeli rühm[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Torsioonivaba Abeli rühm

Torsioonivaba Abeli rühm on Abeli rühm, mille perioodiline osa on {0}; teiste sõnadega, Abeli rühm, mille ainuke lõplikku järku element on 0.

Segatud Abeli rühm[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Segatud Abeli rühm

Segatud Abeli rühm on Abeli rühm, mille perioodiline osa ei lange kokku ei selle rühma endaga ega nullalamrühmaga {0}; teiste sõnadega, Abeli rühm, millel on nii lõplikku järku elemente kui ka lõpmatut järku elemente.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Alamrühmad on normaalsed[muuda | redigeeri lähteteksti]

Abeli rühmal on kõik alamrühmad normaalsed (normaaljagajad), nii et nende järgi saab moodustada faktorrühmi.

Perioodilise rühma laiend torsioonivaba rühma kaudu[muuda | redigeeri lähteteksti]

Igal segatud Abeli rühmal on alamrühm, mis on perioodiline Abeli rühm ja mille järgi võetud faktorrühm on torsioonivaba rühm. Teiste sõnadega, iga segatud Abeli rühm on perioodilise Abeli rühma laiend torsioonivaba rühma abil. Selliseks perioodiliseks alamrühmaks on selle Abeli rühma perioodiline osa.

Üldjuhul ei eraldu Abeli rühma perioodiline osa otsesumma komponendina.