Abeli rühm

Abeli rühmaks (Niels Henrik Abeli järgi) ehk kommutatiivseks rühmaks nimetatakse matemaatikas rühma $G$, mille korrutamistehe (tähis $*$) on kommutatiivne, st

$a * b = b * a$ iga $a, b \in G$ korral.

Näiteks positiivsed reaalarvud moodustavad arvude korrutamise suhtes Abeli rühma. See rühm on isomorfne kõikide reaalarvude rühmaga, milles rühma korrutamistehteks on arvude liitmine.

Aditiivne ja multiplikatiivne tähistus

Tavaliselt kasutatakse Abeli rühmade puhul aditiivset tähistust: rühma korrutamistehe on +, ühikelement on 0 ja elemendi a pöördelement on –a.

Tähistus	Tehe	Ühikelement	Astmed	Pöördelement	Otsesumma/otsekorrutis
Liitmine	a + b	0	na	−a	G ⊕ H
Korrutamine	a * b ehk ab	e ehk 1	an	a−1	G × H

Näiteid

Mis tahes tsükliline rühm G on Abeli rühm, sest kui x ja y on rühma G elemendid, siis xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. Seetõttu on ka rühm Z (täisarvude rühm liitmise suhtes) ja Z/nZ (jäägiklasside rühm modulo n liitmise suhtes) Abeli rühmad.

Reaalarvud moodustavad liitmise suhtes Abeli rühma; nullist erinevad reaalarvud moodustavad korrutamise suhtes Abeli rühma. Ühikelemendiga kommutatiivses assotsiatiivses ringis võib ka üldjuhul välja tuua kaks Abeli rühma: kõikide elementide aditiivne rühm ja pööratavate elementide multiplikatiivne rühm.

Konstruktsioonid

Kommutatiivsuse pärandumine

Abeli rühmade alamrühmad, faktorrühmad, korrutised ja otsesummad on Abeli rühmad.

Perioodiline osa

Abeli rühma kõik lõplikku järku elemendid moodustavad alamrühma, mida nimetatakse selle Abeli rühma perioodiliseks osaks ehk torsiooniks ehk torsioonalamrühmaks ehk maksimaalseks torsioonalamrühmaks ehk maksimaalseks perioodiliseks alamrühmaks.

Faktorrühmas perioodilise osa järgi ei ole lõplikku järku elemente peale 0.

Abeli rühmade liike

Perioodiline Abeli rühm

 Pikemalt artiklis Perioodiline Abeli rühm

Perioodiline Abeli rühm on Abeli rühm, mis koosneb ainult lõplikku järku elementidest.

Abeli rühma perioodiline osa on tema maksimaalne alamrühm, mis on perioodiline Abeli rühm.

Torsioonivaba Abeli rühm

 Pikemalt artiklis Torsioonivaba Abeli rühm

Torsioonivaba Abeli rühm on Abeli rühm, mille perioodiline osa on {0}; teiste sõnadega, Abeli rühm, mille ainuke lõplikku järku element on 0.

Segatud Abeli rühm

 Pikemalt artiklis Segatud Abeli rühm

Segatud Abeli rühm on Abeli rühm, mille perioodiline osa ei lange kokku ei selle rühma endaga ega nullalamrühmaga {0}; teiste sõnadega, Abeli rühm, millel on nii lõplikku järku elemente kui ka lõpmatut järku elemente.

Omadused

Alamrühmad on normaalsed

Abeli rühmal on kõik alamrühmad normaalsed (normaaljagajad), nii et nende järgi saab moodustada faktorrühmi.

Perioodilise rühma laiend torsioonivaba rühma kaudu

Igal segatud Abeli rühmal on alamrühm, mis on perioodiline Abeli rühm ja mille järgi võetud faktorrühm on torsioonivaba rühm. Teiste sõnadega, iga segatud Abeli rühm on perioodilise Abeli rühma laiend torsioonivaba rühma abil. Selliseks perioodiliseks alamrühmaks on selle Abeli rühma perioodiline osa.

Üldjuhul ei eraldu Abeli rühma perioodiline osa otsesumma komponendina.