Tensorkorrutis

Allikas: Vikipeedia

Vektorite, maatriksite, tensorite, vektorruumide, algebrate, topoloogiliste vektorruumide, moodulite vms tensorkorrutis (tähis ⊗) on küll detailides erinevalt defineeritud, kuid on alati kõige üldisem bilineaarne kujutis.

Mõnes kontekstis on tensorkorrutis sama mis väliskorrutis.

Tensorkorrutis on defineeritud ka monoidaalsete kategooriate kontekstis.

Lineaaralgebras ja diferentsiaalgeomeetrias kirjeldatakse tensorkorrutiste abil multilineaarvorme. Kommutatiivses algebras ja algebralises geomeetrias vastab see ühelt poolt geomeetriliste struktuuride ahendile alamhulkadele, teiselt poolt geomeetriliste objektide otsekorrutisele.

Vektorruumide tensorkorrutis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu V ja W vektorruumid üle ühise korpuse. Siis tensorkorrutis

 V\otimes W

on vektorruum, mille võib konstrueerida järgmiselt. Kui E=\{e_i\mid i\in I\} on ruumi V baas ja F=\{f_j\mid j\in J\} on ruumi W baas, siis V\otimes W on vektorruum, milles leidub baas, mille elemente saab viia üksühesesse vastavusse lähteruumide baaside otsekorrutise

E\times F=\{(e_i,f_j)\mid i\in I, j\in J\}

järjestatud paaridega. Ruumi V\otimes W mõõde võrdub seetõttu ruumide V ja W mõõdete korrutisega.

Selle baasi elementi, mis vastab järjestatud paarile (e_i,f_j), tähistatakse e_i\otimes f_j. Sümbolil \otimes ei ole sealjuures seni sügavamat tähendust. Nüüd võib selle baasi abil defineerida ruumide V ja W vektorite korrutise, mida tähistatakse sellesama tehtemärgiga. Loomulikult on kahe baasivektori e_i\in E\subset V ja f_j\in F\subset W korrutis just see baasivektor, mille tähiseks sai e_i\otimes f_j\in V\otimes W. Suvaliste vektorite korrutise saab nüüd bilineaarse jätku abil:

vektoritele v=\sum_{i\in I_0}a_ie_i\in V ja w=\sum_{j\in J_0}b_jf_j\in W, kus I_0\subset I,\;J_0\subset J on lõplikud,

seatakse vastavusse korrutis

v\otimes w=\sum_{(i,j)\in I_0\times J_0} a_ib_j\;(e_i\otimes f_j).

Lõplikumõõtmeliste vektorruumide V ja W korral saab tensorkorrutise konstrueerida maatriksite ruumina. Read nummerdatakse V baasiindeksiga I=\{1,\dots,m\}, veerud W baasiindeksiga J=\{1,\dots,n\}. Kahe vektori v\in V,\;w\in W korrutis on maatriks, mille element kohal (i,j) on vektori v i-nda koordinaadi ja vektori w j-nda koordinaadi korrutis. Veerud on v kordsed, read on w kordsed. (Maatriksite keeles nimetatakse seda konstruktsiooni ka düaadiliseks korrutiseks.)