Regulaarne funktsioon

Allikas: Vikipeedia

Ühe muutuja regulaarne funktsioon ehk holomorfne funktsioon on kompleksmuutuja funktsioon f: U \rightarrow \mathbb{C}. mille määramispiirkond on lahtine hulk U ning mis on diferentseeruv hulga U igas punktis. [1]

Kuigi see definitsioon on analoogiline diferentseeruva reaalmuutuja funktsiooni definitsiooniga, osutub kompleksmuutuja funktsiooniteoorias, et erinevalt reaalmuutuja funktsioonide diferentseeruvusest on tegu väga tugeva omadusega. Näiteks on regulaarne funktsioon alati lõpmatu arv kordi diferentseeruv funktsioon ning ta on igas punktis arendatav astmeritta (analüütiline funktsioon).

Et regulaarsed funktsioonid langevad kokku analüütiliste kompleksmuutuja funktsioonidega, siis nimetatakse neid kompleksmuutuja funktsiooniteoorias sageli analüütilisteks funktsioonideks.

Funktsiooni regulaarsus on defineeritav ka mitme muutuja funktsioonide korral.

Ühe muutuja regulaarsed funktsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

Definitsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu U \subset \mathbb{C} komplekstasandi lahtine alamhulk ning z_0\in U punkt selles alamhulgas. Funktsiooni f:U \rightarrow \mathbb{C} nimetatakse kompleksselt diferentseeruvaks funktsiooniks punktis z_0, kui eksisteerib piirväärtus

\lim_{{h \rightarrow 0}\atop{h+z_0 \in U}}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}.

Sel juhul tähistatakse seda piirväärtust \ f'(z_0).

Funktsiooni f nimetatakse regulaarseks punktis z_0, kui eksisteerib punkti z_0 ümbrus, milles f on kompleksselt diferentseeruv funktsioon.

Kui f on regulaarne kogu komplekstasandil \mathbb{C}, siis nimetatakse funktsiooni f täisfunktsiooniks.

Selgitused[muuda | muuda lähteteksti]

Erinevus kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vahel[muuda | muuda lähteteksti]

Mitte iga diferentseeruv funktsioon f: U \rightarrow \mathbb{R}^2, kus U \subset \mathbb{R}^2, ei osutu regulaarseks, kui käsitada teda funktsioonina komplekstasandil. Reaalarvude puhul nimetatakse funktsiooni diferentseeruvaks, kui eksisteerib niisugune  \mathbb{R} -lineaarne kujutus A, et kehtib võrrand

f(x+h) = f(x) + A(h) + r(h),

kus r on funktsioon, mille korral

\lim_{h \rightarrow 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0.

Regulaarsete funktsioonide korral peab A olema \mathbb{C}-lineaarne, mis tähendab tugevat kitsendust.

Kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vaheline seos[muuda | muuda lähteteksti]

Funktsioon f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right) on kompleksselt diferentseeruv parajasti siis, kui u, v on pidevalt osaliselt diferentseeruvad ning on rahuldatud Cauchy-Riemanni võrrandid

\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y} ja \frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}.

Näited[muuda | muuda lähteteksti]

Järgmised funktsioonid on regulaarsed kogu komplekstasandil \mathbb{C}:

Järgmised funktsioonid ei ole mitte üheski punktis z\in\mathbb{C} kompleksmuutuja diferentseeruvad funktsioonid ega ole seega ka mitte kuskil regulaarsed:

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Kui f, g: U \rightarrow \mathbb{C} on kompleksselt diferentseeruvad punktis z \in U, siis on seda ka f+g ja f-g. Kui g(z)\neq 0, siis on ka \frac{f}{g} punktis z\in U kompleksselt diferentseeruv.

Peale selle, kehtivad summa tuletise reegel, korrutise tuletise reegel, jagatise tuletise reegel ja liitfunktsiooni diferentseerimise reegel.

Järgnevad regulaarsete funktsioonide omadused, millel puudub vaste reaalmuutuja funktsioonide korral.

Järgnevas olgu U \subset \mathbb C piirkond ja f: U \rightarrow \mathbb C regulaarne.

Cauchy integraalteoreem[muuda | muuda lähteteksti]

Kui U \subset \mathbb{C} on ühelisidus ja \gamma on tsükkel alamhulgas U, siis kehtib Cauchy integraalteoreem

\int_\gamma f(z)\mathrm dz=0\!\,.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Jürimäe, E. (1983). Kompleksmuutuja funktsioonide teooria lühikursus. Tallinn: Valgus.