Regulaarne funktsioon

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Ühe muutuja regulaarne funktsioon ehk holomorfne funktsioon on kompleksmuutuja funktsioon . mille määramispiirkond on lahtine hulk U ning mis on diferentseeruv hulga U igas punktis. [1]

Kuigi see definitsioon on analoogiline diferentseeruva reaalmuutuja funktsiooni definitsiooniga, osutub kompleksmuutuja funktsiooniteoorias, et erinevalt reaalmuutuja funktsioonide diferentseeruvusest on tegu väga tugeva omadusega. Näiteks on regulaarne funktsioon alati lõpmatu arv kordi diferentseeruv funktsioon ning ta on igas punktis arendatav astmeritta (analüütiline funktsioon).

Et regulaarsed funktsioonid langevad kokku analüütiliste kompleksmuutuja funktsioonidega, siis nimetatakse neid kompleksmuutuja funktsiooniteoorias sageli analüütilisteks funktsioonideks.

Funktsiooni regulaarsus on defineeritav ka mitme muutuja funktsioonide korral.

Ühe muutuja regulaarsed funktsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

Definitsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu komplekstasandi lahtine alamhulk ning punkt selles alamhulgas. Funktsiooni nimetatakse kompleksselt diferentseeruvaks funktsiooniks punktis , kui eksisteerib piirväärtus

.

Sel juhul tähistatakse seda piirväärtust .

Funktsiooni nimetatakse regulaarseks punktis , kui eksisteerib punkti ümbrus, milles on kompleksselt diferentseeruv funktsioon.

Kui on regulaarne kogu komplekstasandil , siis nimetatakse funktsiooni täisfunktsiooniks.

Selgitused[muuda | muuda lähteteksti]

Erinevus kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vahel[muuda | muuda lähteteksti]

Mitte iga diferentseeruv funktsioon , kus , ei osutu regulaarseks, kui käsitada teda funktsioonina komplekstasandil. Reaalarvude puhul nimetatakse funktsiooni diferentseeruvaks, kui eksisteerib niisugune -lineaarne kujutus , et kehtib võrrand

,

kus on funktsioon, mille korral

.

Regulaarsete funktsioonide korral peab olema -lineaarne, mis tähendab tugevat kitsendust.

Kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vaheline seos[muuda | muuda lähteteksti]

Funktsioon on kompleksselt diferentseeruv parajasti siis, kui on pidevalt osaliselt diferentseeruvad ning on rahuldatud Cauchy-Riemanni võrrandid

ja .

Näited[muuda | muuda lähteteksti]

Järgmised funktsioonid on regulaarsed kogu komplekstasandil :

Järgmised funktsioonid ei ole mitte üheski punktis kompleksmuutuja diferentseeruvad funktsioonid ega ole seega ka mitte kuskil regulaarsed:

  • moodulifunktsioon
  • projektsioonid reaalosale ja imaginaarosale
  • kaaskompleksarvu võtmine

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Kui on kompleksselt diferentseeruvad punktis , siis on seda ka ja . Kui , siis on ka punktis kompleksselt diferentseeruv.

Peale selle, kehtivad summa tuletise reegel, korrutise tuletise reegel, jagatise tuletise reegel ja liitfunktsiooni diferentseerimise reegel.

Järgnevad regulaarsete funktsioonide omadused, millel puudub vaste reaalmuutuja funktsioonide korral.

Järgnevas olgu piirkond ja regulaarne.

Cauchy integraalteoreem[muuda | muuda lähteteksti]

Kui on ühelisidus ja on tsükkel alamhulgas , siis kehtib Cauchy integraalteoreem

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Jürimäe, E. (1983). Kompleksmuutuja funktsioonide teooria lühikursus. Tallinn: Valgus.