Astmerida

Allikas: Vikipeedia

Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida kujul[1]

\sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

kus c on konstant, an on n-nda liikme kordaja ning x muutuja.

Astmeread ilmuvad loomulikul moel kui funktsioonide Taylori read. Tihti valitakse c = 0, näiteks Maclaurini ridade juhul. Sel juhul võtavad astmered mõnevõrra lihtsama kuju


\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

Näiteid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Geomeetriline rida on astmerida kujul

 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,

See rida koondub, kui |x|<1.

Eksponentrida on eksponentfunktsiooni Taylori rida

 e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

See rida koondub tervel komplekstasandil.

Siinuse Taylori rida on

 \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

See rida koondub tervel komplekstasandil.

Kõik ülaltoodud näited on ühtlasi näited Maclaurini ridadest.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.