Cauchy integraalvalem

Cauchy integraalvalem on oluline valem kompleksmuutuja funktsioonide teoorias, mis väljendab asjaolu, et regulaarsete funktsioonide väärtused piirkonnas on määratud selle funktsiooni väärtustega piirkonna rajal. Täpsemalt, kui f on regulaarne funktsioon ühelisidusas tõkestatud piirkonnas D ja pidev kuni selle piirkonna rajani $\gamma$, siis iga piirkonda D kuuluva kompleksarvu z korral kehtib

$f(z)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(\xi ) \over \xi -z}\,d\xi$,

kus integreerimine toimub vastupäeva.

Et ülalantu on Cauchy tüüpi integraal, siis on f piirkonnas D lõpmatult diferentseeruv, kusjuures selle n-ndat järku tuletis on antud integraalina

$f^{(n)}(z)={n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(\xi ) \over (\xi -z)^{n+1}}\,d\xi .$

Viimase asjaolu tõttu iga piirkonnas D regulaarne funktsioon ühtlasi analüütiline funktsioon.

Cauchy integraalvalem on nimetuse saanud prantsuse matemaatiku Augustin Louis Cauchy järgi.

Vaata ka

• Cauchy teoreem
• Resiidide teooria