Mõju (füüsika)

Mõju on füüsikas suurus, mida kasutatakse füüsikalise süsteemi liikumisvõrrandite tuletamiseks statsionaarse mõju printsiibi alusel. Matemaatiliselt on see funktsionaal, mis võtab argumendiks liikumisjoone läbi füüsilise ruumi ning tagastab reaalarvu. Mõju SI ühikuks on džaul-sekund.

Ajalugu

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)

Mõju sõnastas esmakordselt prantsuse matemaatik Pierre Louis Maupertuis aastal 1744. Samal aastal tegi Leonhard Euler sõltumatuid avastusi ning olulisi täiendusi Maupertuis' tööle. Mõned ajaloolased on ka arvamusel, et mõju kasutas ka Gottfried Leibniz oma kirjavahetustes juba aastal 1707, kuid nende kirjade originaale ei ole leitud.

Suurimad arendused algelise variatsioonarvutuse vallas tegi aastal 1760 Joseph-Louis Lagrange, kes 1788. aastal kasutas neid meetodeid mõju defineerimiseks sellisel kujul, nagu neid tänapäeval tuntakse. Aastal 1834 pakkus olulise alternatiivse sõnastuse välja William Hamilton.

Kaasaegses füüsikas on kõik fundamentaalsed jõud formuleeritavad mõju kaudu, kuid empiirilised seadused, näiteks liugehõõret kirjeldav jõud, ei pruugi olla statsionaarse mõju printsiibist tuletatavad. Jäävusseadused on mõjust süstemaatiliselt tuletatavad. Seda tänu Noetheri teoreemile, mis seab igale pidevale sümmeetriateisendusele vastavusse jääva suuruse.

Definitsioon

Funktsionaalidega tegelevat matemaatikaharu nimetatakse variatsioonarvutuseks. 

Klassikalises mehaanikas on mõjufunktsionaal tavaliselt antud integraalina üle aja, kus alg- ja lõpphetk on fikseeritud.

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t,$

Suurust L nimetatakse süsteemi lagranžiaaniks ehk Lagrange'i funktsiooniks, mis on klassikalise keha koordinaatidest, selle ajalistest tuletistest ja ajast sõltuv funktsioon.

Väljateoorias dünaamilised muutujad väljad, mis sõltuvad nii ruumi- kui ajakoordinaatidest. Sel juhul antakse mõju integraalina nii üle aja kui ka ruumi

$S=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}x\,\mathrm {d} t,$

kus suurust ${\mathcal {L}}$ nimentatakse lagranžiaani tiheduseks. See võib sõltuda väljadest ja nende osatuletistest ruumi- ja ajakoordinaatide järgi. Vastav lagranžiaan on defineeritud integraalina üle ruumi

$L=\int {\mathcal {L}}\ \mathrm {d} ^{3}x$

Mõju klassikalises mehaanikas

Klassikalises mehaanikas on punktosakese mõjufunktsionaal

${S[q_{i}(t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[q_{i}(t),{\dot {q_{i}}}(t),t]dt}$,

kus $q_{i}$ tähistab üldistatud koordinaate ning punkt muutuja kohal tähistab tuletist aja järgi. Igale võimalikule trajektoorile $q_{i}(t)$ vastab reaalarvuline mõju. Kõikide trajektooride otspunktid on fikseeritud, need on $q_{1}=q(t_{1})$ ja $q_{2}=q(t_{2})$. Trajektoor, mida mööda keha tegelikult liigub, on määratud statsionaarse mõju printsiibiga.

Statsionaarse mõju printsiip

Statsionaarse mõju printsiip (vahel ka vähima mõju printsiip) väidab seda, et trajektoor, mida keha tegelikult järgib, on selline, mille varieerimisel on mõju statsionaarne. Matemaatiliselt on see tingimus

$\delta S=0$,

kus

$\delta S\equiv S[q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)]-S[q_{i}(t)]$.

Euleri-Lagrange'i võrrandid

Statsionaarse mõju tingimusest on võimalik avaldada võrrandid osakese trajektoori $q(t)$ jaoks, kasutades selleks variatsioonarvutust.

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta Ldt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta {\dot {q}}_{i}\right)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta q_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\right)dt+\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}=0$

Kuna trajektooride otspunktid on fikseeritud, siis trajektoori variatsioon otspunktides on null, mistõttu viimane liige on null. Kuna statsionaarse mõju tingimus peab kehtima trajektoori mistahes variatsiooni jaoks, siis peab sulgudes olev avaldis ka olema võrdne nulliga. Seda nimetatakse variatsioonarvutuse põhilemmaks. Seega

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0$

Neid võrrandeid (iga sõltumatu vabadusastme $i$ jaoks) kutsutakse Euleri-Lagrange'i võrranditeks. Kui Lagrange'i funktsioon neisse asendada, on tulemuseks keha liikumisvõrrandid.

Lagrange'i funktsioon

Klassikalises mehaanikas eristatakse kahte liiki energiat: kineetiline energia $T$, mis sõltub keha kiirusest, ning potentsiaalne energia $V$, mis sõltub keha asukohast. Osutub, et süsteemides, milles toimivad vaid konservatiivsed jõud, on lagranžiaan avaldatav nende kahe suuruse vahena:

$L=T-V$

Süsteemi lagranžiaan pole üheselt määratud. Kui seda konstandiga korrutada või kui sellele liita koordinaatide funktsiooni ajaline täistuletis, jäävad Euleri-Lagrange'i võrrandid samaks. Seetõttu on nende poolt kirjeldatavad süsteemid füüsikaliselt eristamatud. Öeldakse, et sel viisil erinevad mõjud on ekvivalentsed.

Mõju konstrueerimine

Uue füüsikateooria uurimiseks postuleeritakse sageli uus mõjufunktsionaal, mis seda teooriat kirjeldaks. Selline meetod on võimas uurimisvahend, sest mõjust saab tuletada väga palju informatsiooni süsteemi käitumise kohta. Selleks et teooria oleks füüsikaline, peab mõjufunktsionaal täitma vähemalt järgmisi tingimusi:

1. Mõju peab olema skalaarne suurus. Väljateooria kontekstis tähendab see seda, et mõju peab jääma Poincare'i teisendustel invariantseks. Üldrelatiivsusteoorias kehtib nõue arbitraarsete koordinaatteisenduste jaoks. See nõue on vajalik, sest vastasel juhul sõltuks füüsikaline trajektoor $\delta S=0$ vaatleja taustsüsteemist.
2. Mõju peab olema reaalne (mitte kompleksne). Mõjust tuletavad füüsikalised suurused, näiteks süsteemi koguenergia, peavad alati olema reaalsete väärtustega. See on võimalik ainult siis, kui ka mõju on reaalne.
3. Mõju ei tohi üldjuhul sisaldada kõrgemat kui esimest järku tuletisi. Vastasel korral võib ilmneda Ostrogradski ebastabiilsus. Erandiks on näiteks üldrelatiivsusteooria, kus esineb ka teist järku tuletisi meetrilisest tensorist.
4. Mõju peab olema invariantne teooria sümmeetriateisenduste all (näiteks kalibratsiooniteisendused).
5. Uue teooria mõju peab taanduma tuntud piirjuhtudel vana teooria mõjufunktsionaaliks. Vastasel korral tekib kaks konkureerivat teooriat sama nähtuse jaoks, millest vaid üks saab olla õige.
6. Mõju peab olema võimalikult lihtne ja matemaatiliselt ilus. Liiga keeruline mõjufunktsionaal viitaks peenhäälestamisele.

Vaata ka

• Noetheri teoreem
• Klassikaline mehaanika
• Lagrange'i funktsioon
• Vähima aja printsiip

Välislingid

• Leonard Susskind – klassikalise mehaanika loengud (ingliskeelne)
• David Tong – klassikalise mehaanika õppematerjalid (ingliskeelne)
• Hardi Veermäe – analüütilise mehaanika loengukonspekt (eestikeelne)