Variatsioonarvutus

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Variatsioonarvutus on matemaatilise analüüsi haru, mis kasutab funktsionaalide variatsioone ((lõpmata) väikseid muutusi) funktsionaalide (kujutused funktsioonide hulgalt reaalarvude hulka) ekstreemumite (miinimumide ja maksimumide) leidmiseks. Funktsionaale väljendatakse sageli määratud integraalidena avaldistest, mis sisaldavad funktsioone ja nende tuletisi. Funktsioone, mis on funktsioonide ekstreemumid, saab leida Euleri-Lagrange'i võrrandi abil.

Lihtne näide niisugusest ülesandest on leida lühim joon kahe punkti vahel. Kui kitsendusi ei ole, siis lahend on nende punktide vaheline sirglõik. Kui aga joon peab asetsema mingil pinnal, siis lahend ei ole nii ilmne ja lahendeid võib olla mitu. Neid lahendeid nimetatakse geodeetiliseks joonteks. Samalaadne ülesanne tuleneb Fermat' printsiibist: valgus liigub kahe punkti vahel mööda teed, millel on lühim optiline pikkus (optiline pikkus sõltub keskkonna materjalist). Mehaanikas on üks samalaadne printsiip vähima mõju printsiip.

Paljud tähtsad ülesanded on seotud mitme muutuja funktsioonidega. Laplace'i võrrandi rajaväärtusülesannete lahendid rahuldavad Dirichlet' printsiipi. Plateau ülesande puhul tuleb leida minimaalpind, mille äär on antud ruumiline joon. Lahendi saab sageli leida, kastes traadi seebimullilahusesse. Selliseid katseid on suhteliselt lihtne teha, kuid nende tõlgendamine ei ole kaugeltki lihtne, sest lokaalseid minimaalpindu võib olla mitu ja neil võib olla mttetriviaalne topoloogia.