Ühisosa

Allikas: Vikipeedia
Venni diagramm: hulkade A ja B ühisosa A ∩ B on märgistatud tumedamalt

Matemaatikas on hulkade A ja B ühisosa ehk lõige ehk korrutis hulk, mis koosneb kõikidest hulkade A ja B ühistest elementidest.

Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse AB.

Hulkade ühisosa leidmine moodustab mis tahes hulkade hulgal binaarse tehte, mingi hulga alamhulkade hulgal binaarse algebralise tehte.

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Hulkade A ja B ühisosa A  ∩ B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B.

Sümbolite abil väljendudes,

A \cap B = \{x \, | \, x \in A \wedge x \in B \},

kus \wedge tähistab konjunktsiooni.

Näited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  • Hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} ühisosa on {2, 3}.

{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} ühisosa element.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Hulkade ühisosa leidmisel on järgmised omadused:

A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C
A \cap B = B \cap A
A \cap A = A

Hulkade kogumi ühisosa[muuda | redigeeri lähteteksti]

Üldiselt saab rääkida mittetühja hulkade kogumi

 M = \{ A_i | i \in I \}

ühisosast

\bigcup M \equiv \bigcup \limits_{i \in I} A_{i} ,

kus I tähistab mõnd indeksihulka. Teisisõnu on hulga \cup M elementideks on parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad ühtlasi ka igasse hulka A_{i}.

Nullaarne lõige[muuda | redigeeri lähteteksti]

Mõnikord räägitakse ühisosast ka juhul, kui M on tühi hulk[viide?].

Sulgudes olevate argumentide konjunktsioonid.

Mitte ühegi argumendi konjunktsioon on tautoloogia (võrdle tühja korrutisega); vastavalt on mitte ühegi hulga lõige universum.

Eelpool jäi vaatluse alt välja juhtum, kus M on tühi hulk ∅. Kogumi M lõige on defineeritud kui

\bigcap \mathbf{M} = \{x : \forall A \in \mathbf{M}, x \in A\}.

Kui M on tühi, siis ükski hulk ei ole hulga M element, nii et jääb küsimus, millised muutuja x väärtused rahuldavad seda tingimust. Paistab, et kõik võimalikud väärtused. Kui M on tühi, siis see tingimus on tühi tõde. Nii et tühja kogumi lõige peaks olema universaalhulk (lõike leidmise tehte universaalhulk, mida hulgateoorias ZFC ei eksisteeri.

Selle raskuse saab osaliselt lahendada, kui piirduda fikseeritud hulga U (universum) alamhulkadega. Sel juhul võib hulga U alamhulkade kogumi lõike defineerida nii:

\bigcap \mathbf{M} = \{x \in U : \forall A \in \mathbf{M}, x \in A\}.

Kui nüüd M on tühi, siis raskust ei teki. Lõige on lihtsalt kogu universum U, mis on lõike leidmise tehte ühikelement.

Ühisosata hulgad[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis Ühisosata hulgad

Kui \cup M on tühi hulk, siis öeldakse, et hulga M elemendid on ühisosata hulgad. Kui AB on tühi hulk, siis A ja B on ühisosata hulgad.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]