Vahe (hulgateooria)

Hulgateoorias nimetatakse hulkade A ja B vaheks hulka, mille elementideks on need hulga A elemendid, mis ei ole hulga B elemendid. Teiste sõnadega, x on hulkade A ja B vahe element siis ja ainult siis, kui x on A element, kuid ei ole B element.

Hulkade A ja B vahet tähistatakse tavaliselt A\B.

Definitsioon

$A \setminus B = \{x \, | \, x\in A \wedge x \notin B \}.$,

kus $\wedge$ tähistab konjunktsiooni.

Näited

Näiteks hulkade {1, 2, 3, 4} ja {3, 4} vahe on {1, 2}.

Omadused

Hulkade vahe tehtel on järgmised omadused:

$A \cup (B \setminus A) = A \cup B$,

$A \setminus (A \cap B) = A \setminus B$,

$A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$,

$A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$,

kus ∩ tähistab ühisosa ja ∪ ühendit.

Täiend

Hulkade vahe abil defineeritakse hulga täiend. Hulga A täiendiks universaalse hulga U suhtes nimetatakse hulka U \ A ja tähistatakse $A^c$ või $\overline{A}$.