Stereograafiline projektsioon

Stereograafiline projektsioon polaaraspektis.

Stereograafilise projektsiooni (ka konformne asimutaalne projektsioon) puhul on kartograafias tegemist tasandilise, radiaalse projitseerimise viisiga, kus projitseeritavate pindade kujusid kujutatakse valdavalt tõetruuna (v.a polaaraspekti korral kaardi servad, kus esinevad ulatuslikud moonutsed).

Ajalugu

Kuigi poolaraspektis võis stereograafiline projektsioon teada olla juba Vana-Egiptuses, peetakse selle loojaks Vana-Kreeka astronoomi, Hipparchust, kes oli ühtlasi ka esimesi teadaolevaid kasutajaid. Vanim säilinud kirjalik dokument stereograafilise projektsiooni kohta pärineb Ptolemaiose "Planisphaeriumist", mil seda kasutati peamiselt taevakaartide loomisel. 16. sajandini kutsuti projektsiooni planisphaerum '​iks, tänapäevani kehtiva nimetuse "stereograafiline" võttis 1613. aastal kasutusele François d'Aguilon teoses "Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles". Ekvatoriaalne aspekt pärineb 11. sajandi Araabiast ning 16. sajandist leidis ulatuslikumat rakendust ka Euroopas, mil seda kasutati peamiselt põhja- ja lõunapoolkera kujutamiseks kaartidel. 1695. aastal tõestas Edmond Halley projektsiooni konformsuse.

Omadused

Stereograafiline projektsiooni aspektid: A) polaar B) ekvatoriaal C) kald

Tegemist on tasandilise projektsiooniga, mis tähendab, et moodustub ringikujuline kaart (korraga on võimalik kuvada ühte poolt Maast). Eristatakse kolme aspekti aluse: polaar-, ekvatoriaal- ja kaldaspekt. Polaaraspekt meenutab teisi asimutaalseid projektsioone, paralleele kujutatakse kiiresti kasvavate vahedega kontsentriliste ringjoontena ja meridiaane poolustel koonduvate sirgjoontena, mis omavahel lõikuvad 90-kraadise nurga all. Vastas poolust ei ole võimalik kuvada. Ekvatoriaalaspekti korral on telgmeridiaan ja ekvaator (peamine parallel) sirgjoonelised lõigud, ülejäänud meridiaane ja paralleele kujutatakse rinjoonte kaartena, mille vahed kasvavad eemaldumisel vastavalt telgmeridiaanist või ekvaatorist. Meridiaanid lõikuvad ning paralleelid koonduvad poolustel. Kaldaspekt on sisuliselt sarnane ekvatoriaalaspektile. Erinevuseks on sirjoonelise paralleelina kuvatakse kesksele laiusele vastupidisemärgiga paralleeli. Nii ekvatorial- kui ka kaldaspekti puhul meridiaanid ja paralleelid ristuvad.

Asimutaalprojektsiooni omadustest tulenevalt kujutatakse suunda projektsiooni keskmest õigesti sfäärilisel kujul. Ellipsoidi korral on ainult polaaraspekt asimutaalne, kuid säilitamaks konformsust, ei ole viimane enam perspektiivne. Seevastu ekvatoriaal- ja kaldaspekt säilitamaks konformsust ei ole ei asimutaalne ega perspektiivne. Konformse projektsiooni omadustest tulenevalt esineb õigenurksus.

Tegemist on klassikalise, radiaalse projitseerimis viisiga, projitseerimiskese asub maaellipsoidi vastasküljel ja tasandilise siirdepinna korral saadakse õigenurkne kaart. Polaaraspekti korral asub siirdepind vastavalt põhja- võin lõunapoolusel ning projektsiooni tsenter viimase vastaspoolusel. Ekvaatorit kujutatakse piltlikult ringjoonena.

Tissot' indikatrissiga kujutatud moonutused Stereograafilisel projektsioonil

Valemid

Transformatsioonivõrrandid sfääri raadiuse R arvutamiseks:

${\begin{aligned}x&=k\cos \phi \sin(\lambda -\lambda _{0})\\y&=k[\cos \phi _{1}\sin \phi -\sin \phi _{1}\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})]\\\\k&={\frac {2R}{1+\sin \phi _{1}\sin \phi +\cos \phi _{1}\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}}\\\\\phi &=\sin ^{-1}\left(\cos c\sin \phi _{1}+{\frac {y\sin c\cos \phi _{1}}{\rho }}\right)\\\\\lambda &=\lambda _{0}+\tan ^{-1}\left({\frac {x\sin c}{\rho \cos \phi _{1}\cos c-y\sin \phi _{1}\sin c}}\right)\\\\\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=2\tan ^{-1}\left({\frac {\rho }{2R}}\right)\\\\R&={\frac {R_{e}\cos \phi }{(1-e^{2}\sin ^{2}\phi )\cos \chi }}\end{aligned}}$

λ₀ – keskne meridiaan, φ₁ – keskne paralleel, R_e – ekvatoriaalraadius, χ – konformne paralleel

Kasutusvaldkond

Stereograafilises projektsioonis kaartide levinuimaks kasutusvaldkonnaks tänapäeval on polaaralade kaardistamine, mistõttu on levinuim aspekt ka polaaraspekt. Polaaralasid kaardistatakse nii maaellipsoidil kui ka teistel planeetidel ja taevakehadel (Kuu, Marss, Merkuur).

Tulenevalt mõõtkava kiirest kasvamisest eemaldumisel poolustelt (ekvaataoril koks korda suurem), on esinevad moonutused liiga suured, et seda kasutada universaalsete topograafiliste kaartide koostamiseks. Küll aga on seda võimalik kasutada polaaralade topograafiliseks kaardistuseks (nt UPS – Universal Polar Stereographic).

Ekvatoriaalaspekti kasutati laialdaselt 17.–18. sajandil erinevate poolkerade kaardistamisel. Kaldaspekti kasutatakse peamiselt päikesevarjutuse teekonna näitamiseks.