Hulgateooria

Allikas: Vikipeedia

Hulgateooria on matemaatika haru, mis uurib hulkade üldisi omadusi, samuti järjestusi ning muid seoseid ning mõningaid muid valdkondi.

Matemaatika alused on hulgateooriaga tihedalt läbi põimunud.

Hulgateooria on üks moodsa matemaatika alustaladest. Kogu tänapäeva matemaatika sõnastatakse tavaliselt hulgateooria terminites ja valdav enamik matemaatilisi objekte on defineeritav hulkadena.

Moodsa hulgateooria rajajateks loetakse Georg Cantorit ja Richard Dedekindi. Pärast nende nn naiivse hulgateooria paradokside avastamist (matemaatika aluste kriis) pakuti välja mitmeid aksiomaatilisi hulgateooriaid, mille seas on Zermelo-Fraenkeli hulgateooria, mis sisaldab valikuaksioomi, ja Von Neumanni-Bernaysi-Gödeli hulgateooria.

Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]

19. sajand[muuda | muuda lähteteksti]

Cantori hulgadefinitsioon

Hulgateooria rajas Georg Cantor aastatel 1874–1897. Termini "hulk" (Menge) asemel kasutas ta alguses sõnu Inbegriff ("kogusumma") ja Mannigfaltigkeit ("mitmekesisus"). Hiljem hakkas ta kasutama sõnu Menge ja Mengenlehre ("hulgateooria"). Aastal 1895 sõnastas ta järgmise hulga definitsiooni: ""Hulga" all mõistame oma kaemuse või oma mõtlemise hästi eristatud objektide m (mida nimetame M-i elementideks) iga kokkuvõtet M tervikuks."[1]

Cantor klassifitseeris hulki, iseäranis lõpmatuid hulki võimsuse järgi. Lõplike hulkade puhul on see nende elementide arv. Ta nimetas kaht hulka ekvivalentseteks (võrdvõimsateks), kui neid saab bijektiivselt teineteisele kujutada, st kui nende elementide vahel on üksühene vastavus. Hulga M võimsus ehk kardinaalarv on Cantori järgi hulgaga M võrdvõimsate hulkade ekvivalentsusklass. Ta märkas tõenäoliselt esimesena, et on erinevaid lõpmatuid võimsusi. Kõigi naturaalarvude hulka ja kõiki sellega võrdvõimsaid hulki nimetatakse Cantori eeskujul loenduvateks hulkadeks, kõiki teisi lõpmatuid hulki mitteloenduvateks hulkadeks.

Cantori olulisi tulemusi

Cantor nimetas kontiinumi probleemiks järgmist küsimust: kas on olemas naturaalarvude hulga võimsuse ja reaalarvude hulga võimsuse vahepealne võimsus? Ta püüdis seda probleemi lahendada, kuid see ei õnnestunud. Hiljem selgus, et probleem on põhimõtteliselt lahendamatu.

Märkused[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Georg Cantor. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. – Mathematische Annalen 46 (1895), lk 481. Veebiversioon

Kirjandus[muuda | muuda lähteteksti]