Normaalne maatriks

Allikas: Vikipeedia

Lineaaralgebras nimetatakse kompleksarvuliste elementidega ruutmaatriksit A normaalseks, kui see kommuteerub oma kaasmaatriksiga:

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Iga maatriks on unitaarse maatriksi abil diagonaliseeritav parajasti siis, kui see on normaalne. See tähendab, et maatriks A on normaalne parajasti siis, kui see on esitatav diagonaalse maatriksi Λ ja unitaarse maatriksi U kaudu nii, et

kus

Tuleb rõhutada, et kuigi iga normaalne maatriks on diagonaliseeritav, pole iga diagonaliseeritav maatriks normaalne.

Maatriksi normaalsusega samaväärsetest tingimustest saab koostada üsna pika nimekirja. Olgu A n×n maatriks. Järgmised väited on samaväärsed:

  1. A on normaalne.
  2. A on diagonaliseeritav unitaarse maatriksi abil.
  3. Iga vektor n-mõõtmelises vektorruumis (üle kompleksarvude) on esitatav maatriksi A ortogonaalsete omavektorite lineaarkombinatsioonina.
  4. iga vektori x korral.
  5. (See tähendab, et maatriksi A Frobeniuse norm on arvutatav A omaväärtuste abil.)
  6. Maatriksi A Hermiitiline osa ja antihermiitiline osa kommuteeruvad.
  7. on esitatav n-1 järku polünoomina maatriksist .[1]
  8. , kus U on unitaarne maatriks.[2]
  9. U ja P kommuteeruvad, kus A = UP on maatriksi A polaarne dekompositsioon (U on unitaarne ja P mittenegatiivne maatriks).
  10. A kommuteerub mõne normaalse maatriksiga N, millel pole korduvaid omaväärtuseid.

Erijuhud[muuda | muuda lähteteksti]

Järgnevad kompleksarvulisete elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: hermiitlised maatriksid, [[Antihermiitiline maatriks|antihermiitilised maatriksid]} jaunitaarsed maatriksid.

Järgnevad reaalarvuliste elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: sümmeetrilised maatriksid, kaldsümmeetrilised maatriksid ja ortogonaalsed maatriksid

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Tõestus: Kui A on normaalne, siis kasuta Lagrange'i interpoleerimisvalemit et konstrueerida polünoom P nii, et , kus on A omaväärtused.
  2. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press