Normaalne maatriks

Lineaaralgebras nimetatakse kompleksarvuliste elementidega ruutmaatriksit A normaalseks, kui see kommuteerub oma kaasmaatriksiga:

AA^{\dagger }=A^{\dagger }A.

Omadused

Iga maatriks on unitaarse maatriksi abil diagonaliseeritav parajasti siis, kui see on normaalne. See tähendab, et maatriks A on normaalne parajasti siis, kui see on esitatav diagonaalse maatriksi Λ ja unitaarse maatriksi U kaudu nii, et

\mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}

kus

\mathbf {\Lambda } =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )

\mathbf {U} ^{*}\mathbf {U} =\mathbf {U} \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {I} .

Tuleb rõhutada, et kuigi iga normaalne maatriks on diagonaliseeritav, pole iga diagonaliseeritav maatriks normaalne.

Maatriksi normaalsusega samaväärsetest tingimustest saab koostada üsna pika nimekirja. Olgu A n×n maatriks. Järgmised väited on samaväärsed:

A on normaalne.
A on diagonaliseeritav unitaarse maatriksi abil.
Iga vektor n-mõõtmelises vektorruumis (üle kompleksarvude) on esitatav maatriksi A ortogonaalsete omavektorite lineaarkombinatsioonina.
$\|Ax\|=\|A^{*}x\|$ iga vektori x korral.
$\operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum _{j}^{n}|\lambda _{j}|^{2}.$ (See tähendab, et maatriksi A Frobeniuse norm on arvutatav A omaväärtuste abil.)
Maatriksi A Hermiitiline osa ${\frac {1}{2}}(A+A^{*})$ ja antihermiitiline osa ${\frac {1}{2}}(A-A^{*})$ kommuteeruvad.
$A^{*}$ on esitatav n-1 järku polünoomina maatriksist $A$ .^[1]
$A^{*}=AU$ , kus U on unitaarne maatriks.^[2]
U ja P kommuteeruvad, kus A = UP on maatriksi A polaarne dekompositsioon (U on unitaarne ja P mittenegatiivne maatriks).
A kommuteerub mõne normaalse maatriksiga N, millel pole korduvaid omaväärtuseid.

Erijuhud

Järgnevad kompleksarvulisete elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: hermiitlised maatriksid, antihermiitilised maatriksid jaunitaarsed maatriksid.

Järgnevad reaalarvuliste elementidega maatriksid on normaalsete maatriksite erijuhud: sümmeetrilised maatriksid, kaldsümmeetrilised maatriksid ja ortogonaalsed maatriksid

Vaata ka

Normaalne operaator

Viited

↑ Tõestus: Kui A on normaalne, siis kasuta Lagrange'i interpoleerimisvalemit et konstrueerida polünoom P nii, et ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ , kus $\lambda _{j}$ on A omaväärtused.
↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press

[1] Tõestus: Kui A on normaalne, siis kasuta Lagrange'i interpoleerimisvalemit et konstrueerida polünoom P nii, et ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ , kus $\lambda _{j}$ on A omaväärtused.

[2] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press

[1]

[2]