Kolmnurga võrratus

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

NB! Artiklel on ülevaatamisel, mõni info võib olla ebatäpne.

Disambig gray.svg  See artikkel räägib kolmnurga külgede omadusest ; teiste kolnurga omaduste kohta vaata artiklit Kolmnurk

Kolmnurga võrratuseks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga külgede omadust, et kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg või sellega võrdne.[1][2]

Kolmnurga küljed ja on seoses

Eukleidese geomeetrias käsitletakse kolmnurga võrratust kauguse teoreemina, kus kasutatakse vektoreid ja ning nende pikkusi:

Eukleidese geomeetria[muuda | muuda lähteteksti]

Eukleidese kolmnurga võrratuse tõestuseks kasutatud joonis kolmnurgast.

Eukleides tõestas kolmnurga külgede pikkuste võrratust tasapinnalises geomeetrias kasutades kõrvalolevat joonist. Järgnev tõestus on välja toodud Eukleidese raamatus "Elemendid".[3]

Alustatakse kolmnurgaga . Küljele moodustatakse võrdhaarne kolmnurk nii, et külg on külje pikendus.

Seejärel väidetakse, et nurk , nii et külg .

Kuid , nii et külgede summa on , mis tõestab kolmnurga külgede pikkuste võrratust.

Võrratusest tulenevad valemid[muuda | muuda lähteteksti]

Võrratus teisel kujul[muuda | muuda lähteteksti]

Võrratusest tulenevalt kehtivad kolmnurga külgede ja vahel järgmised seosed:

Kolm juhtu kolmnurga võrratuses. Külgede pikkused on ja

[4]

Sellest valemist järeldub

Eelnevatest valemitest tuleneb, et

Seda saab panna kirja valemina

mis on sama mis

See valem tähendab seda, et pikim kolmnurga külg on lühem kui selle kolmnurga poolümbermõõt

Kolmnurga võrratuse juhud[muuda | muuda lähteteksti]

Kui on antud kolm külge ja , kus on pikim külg, siis tulenevalt -külje pikkusest saab võrratus esineda kolmel kujul:

  1. (summavektor vektorite käsitluses)
  2. , kus külje pikkus on vähesel määral väiksem kui ja summa.

Näide kolmnurga võrratuse kasutamisest[5][muuda | muuda lähteteksti]

Näide kahel hulknurgal[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu meil hulknurk ja selle sees kolmnurk (vt joonis 2).

Tõestame, et kus on ümbermõõt ehk kõikide külgede summa.

  1. Rakendame kolmnurga võrratust kolmnurkadele ja
  2. Saame ja
  3. Liidame võrratused: ehk
  4. Liites võrratuse mõlemale poolele suuruse
  5. Saame ehk

Kolmnurga võrratus vektorruumis[muuda | muuda lähteteksti]

Kolmnurga võrratus kasutades summavektorit, kus ja on vektorid.

Kui on antud normeeritud vektorruum siis üks normi määratlevaks tingimuseks on kolmnurga võrratus:

Sellest tuleneb kolmnurga reegel, mis seisneb selles, et geomeetriliste vektorite ja summavektoriks nimetatakse vektorit, mis on suunatud vektori alguspunktist vektori lõpp-punkti ning summavektori pikkus on väiksem kui ja pikkuste summa.[6]

Meetriline ruum[muuda | muuda lähteteksti]

Meetrilise ruumi üheks tingimuseks on

kus igale paarile on vastavusse seatud reaalarv mis on ja vaheline kaugus: (absoluutväärtus või moodul arvude ja vahest).[7] Antud valemi tõestus on järgmises alapeatükis.

Sellest võrrandist tulenevalt kehtib võrratus

(tagurpidi kolmnurga võrratus).

Tagurpidi kolmnurga võrratus[muuda | muuda lähteteksti]

Meetrilise ruumi eeltoodud aksioomist tuleneb võrrand

Tagurpidi kolmnurga võrratus omandab kuju kus ehk meetrilise (ja normeeritud) ruumi kaugus. Sellest tulenevalt on kolmnurga tõestus järgmine:

mis tähendabki seda, et

Tõestame, et tagurpidi kolmnurga võrratus kasutab fundamentaalset kolmnurga võrratust eeldades, et :

Ning kui paneme mõlemad võrratused kokku, saame

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Mohamed A. Khamsi, Mohamed Amine Khamsi, William A. Kirk, W. A. Kirk. "An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory".
  2. Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar, OÜ Hea Lugu. "Matemaatika õhtuõpik". 2014.
  3. David E. Joyce (1997). "Euclid's elements". Dept. Math and Computer Science, Clark University.
  4. "Peatükk 1. Arvuteooria".
  5. Raili Vilt. "Kolmnurga ja nelinurga võrratused".
  6. Tõnu Laas, Risto Tammelo. "Vektor- ja tensoranalüüs". Teoreetilise Füüsika Instituut, Tartu Ülikool.
  7. Eve Oja. "Funktsionaalanalüüs I e-õpik".

Viitamistõrge: <references>-siltide vahel olevat <ref>-silti nimega "TvCz2" ei kasutata eelnevas tekstis.
Viitamistõrge: <references>-siltide vahel olevat <ref>-silti nimega "tBmkv" ei kasutata eelnevas tekstis.
Viitamistõrge: <references>-siltide vahel olevat <ref>-silti nimega "83DDn" ei kasutata eelnevas tekstis.
Viitamistõrge: <references>-siltide vahel olevat <ref>-silti nimega "FVXHO" ei kasutata eelnevas tekstis.
Viitamistõrge: <references>-siltide vahel olevat <ref>-silti nimega "TR3W8" ei kasutata eelnevas tekstis.
Viitamistõrge: <references>-siltide vahel olevat <ref>-silti nimega "sV27b" ei kasutata eelnevas tekstis.
Viitamistõrge: <references>-siltide vahel olevat <ref>-silti nimega "D8BKQ" ei kasutata eelnevas tekstis.
Viitamistõrge: <references>-siltide vahel olevat <ref>-silti nimega "QeVlc" ei kasutata eelnevas tekstis.

Viitamistõrge: <references>-siltide vahel olevat <ref>-silti nimega "WtB3m" ei kasutata eelnevas tekstis.