Kolmnurga võrratus

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Disambig gray.svg  See artikkel räägib kolmnurga külgede omadusest ; teiste kolmnurga omaduste kohta vaata artiklit Kolmnurk

Kolmnurga võrratuseks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga külgede omadust, mis väidab, et kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg või on sellega võrdne.[1][2]

Teiste sõnadega kolmnurga küljed ja on seoses

Eukleidese geomeetrias käsitletakse kolmnurga võrratust kauguse teoreemina, kus kasutatakse vektoreid ja ning nende pikkusi:

Eukleidese geomeetria[muuda | muuda lähteteksti]

Joonis 1: Eukleidese kolmnurga võrratuse tõestuseks kasutatud joonis kolmnurgast.

Eukleides tõestas kolmnurga külgede pikkuste võrratust tasapinnalises geomeetrias kasutades joonist 1. Järgnev tõestus on välja toodud Eukleidese raamatus "Elemendid".

Alustatakse kolmnurgaga . Küljele moodustatakse võrdhaarne kolmnurk nii, et külg on külje pikendus.

Seejärel väidetakse, et nurk , nii et külg .

Kuid , nii et külgede summa on , mis tõestab kolmnurga külgede pikkuste võrratust.[3][4]

Võrratusest tulenevad valemid[muuda | muuda lähteteksti]

Võrratus teisel kujul[muuda | muuda lähteteksti]

Võrratusest tulenevalt kehtivad kolmnurga külgede ja vahel järgmised seosed:

Joonis 2: kolm juhtu kolmnurga võrratuses. Külgede pikkused on ja

[5]

Sellest valemist järeldub

Eelnevatest valemitest tuleneb, et

Seda saab panna kirja valemina

mis on sama mis [6]

Kolmnurga võrratuse juhud[muuda | muuda lähteteksti]

Kui on antud kolm külge ja , kus on pikim külg, siis tulenevalt -külje pikkusest saab võrratus esineda kolmel kujul:

  1. (summavektor vektorite käsitluses)
  2. , kus -külje pikkus on vähesel määral väiksem kui ja summa.

Näide kolmnurga võrratuse kasutamisest[muuda | muuda lähteteksti]

Näide kahel hulknurgal[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu meil hulknurk ja selle sees kolmnurk .

Tõestame, et kus on ümbermõõt ehk kõikide külgede summa.

  1. Rakendame kolmnurga võrratust kolmnurkadele ja
  2. Saame ja
  3. Liidame võrratused: ehk
  4. Liites võrratuse mõlemale poolele suuruse
  5. Saame ehk [7]

Kolmnurga võrratus vektorruumis[muuda | muuda lähteteksti]

Joonis 3: kolmnurga võrratus kasutades summavektorit, kus ja on vektorid.

Kui on antud normeeritud vektorruum siis üks normi määratlevaks tingimuseks on kolmnurga võrratus:

Sellest tuleneb kolmnurga reegel, mis seisneb selles, et geomeetriliste vektorite ja summavektoriks nimetatakse vektorit, mis on suunatud vektori alguspunktist vektori lõpp-punkti ning summavektori pikkus on väiksem kui ja pikkuste summa.[8]

Meetriline ruum[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu mitte tühi meetriline ruum ning funktsioon üle reaalarvude. Üheks meetrilise ruumi tingimuseks on:

[9]

Igale paarile on vastavusse seatud reaalarv mis on ja vaheline kaugus: (absoluutväärtus või moodul arvude ja vahest).[10]

Tõestame antud aksioomi lähtudes kauguse definitsioonist.

korral:

(M1)

(M2) kui

(M3)

(M4) [9]

Tagurpidi kolmnurga võrratus[muuda | muuda lähteteksti]

Tuletame meetrilise ruumi eeltoodud aksioomist tagurpidi kolmnurga võrratust.

korral:

Teisendame võrratust eelmises peatükis mainituid sammude M3 ja M4 abil:

ja sellest tuleneb

ning saame

mis on tagurpidi kolmnurga võrratus.[9]


Tagurpidi kolmnurga võrratus omab kuju kus ehk meetrilise (ja normeeritud) ruumi kaugus. Sellest tulenevalt on kolmnurga tõestus järgmine:

mis tähendabki seda, et

Tõestame, et tagurpidi kolmnurga võrratus kasutab fundamentaalset kolmnurga võrratust eeldades, et :

Ning kui paneme mõlemad võrratused kokku, saame

[11]

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. ISBN 978-0-471-41825-2. 
  2. Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar. "Matemaatika õhtuõpik". 2014. OÜ Hea Lugu. Failitüüp: pdf. Kasutatud 1. detsember 2018.
  3. David E. Joyce. "Euclid's elements: Book I, Proposition 20". Dept. Math and Computer Science, Clark University. Kasutatud 21.12.2018.
  4. Euclides; Richard Fitzpatrick; Johan Ludvig Heiberg (2007). Euclid's elements of geometry : the Greek text of J.L. Heiberg (1883-1885). [s.l.] : [s.n.]. Lk 21. ISBN 9780615179841 0615179843. inglise. 
  5. Minna Bro. "MTMM.00.114 Matemaatika olümpiaadid: Algebra, Peatükk 1. Arvuteooria". (lk 25-26). mai 2018. Kasutatud 12.12.2018.
  6. "American Mathematical Monthly". pp. 49-50, 1954.
  7. Raili Vilt. "Ettevalmistus matemaatikaolümpiaadiks II: Kolmnurga ja nelinurga võrratused". TÜ teaduskool. Kasutatud 21.12.2018.
  8. Tõnu Laas, Risto Tammelo. "Vektor- ja tensoranalüüs: Loengukonspekt koos üllesannete lahendustega". 11.11.2004. Teoreetilise Füüsika Instituut, Tartu Ülikool. Kasutatud 21.12.2018.
  9. 9,0 9,1 9,2 Qamrul Hasan Ansari (2010). Metric spaces : including fixed point theory and set-valued maps. New Delhi: Narosa. 
  10. Eve Oja, Peeter Oja (1991). Funktsionaalanalüüs. Tartu: Tartu Ülikool. Lk 3. ISBN 9789949800308
  11. Anonymous (1854). "Exercise I. to proposition XIX". The popular educator; fourth volume. Ludgate Hill, London: John Cassell. p. 196.