Helmholtzi võrrand

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Mittehomogeense Helmholtzi võrrandi lahendi reaalosa ehk amplituudi A kujutus

Helmholtzi võrrand on Hermann von Helmholtzi järgi nimetatud lineaarne osatuletistega diferentsiaalvõrrand kujul:

kus on Laplace'i operaator, on lainearv ja on amplituud.

Võrrandi päritolu ja kasutus[muuda | muuda lähteteksti]

Helmholtzi võrrand kerkib esile füüsikalisi nähtusi kirjeldavatates aja- ja ruumimuutujaid sisaldavates osatuletistega diferentsiaalvõrrandite lahendamisel. Näiteks eeldades igas ruumipunktis lihtharmoonilisi võnkumisi esitab Helmholtzi võrrand lainevõrrandi ajast sõltumatul kujul ja seeläbi võimaldab lihtsustada lainelevi nähtuse analüüsi keskendudes vaid normaalvõnkevormide ruumimuutlikkuse analüüsile.

Näiteks vaadeldes lainevõrrandit kujul:

Eeldades lihtharmoonilisi võnkumisi on lahendis aja ja ruumimuutujud eraldatavad: Saame asendades algsesse lainevõrrandisse muutujad eraldada:

Muutujate eraldamise võtte kohaselt leidub antud harilikule diferentsiaalvõrrandile lahend siis ja ainult siis, kui võrrandi mõlemad pooled võrduvad konstandiga. Ehk

ja

kus konstandiks on valitud . Asendades viimase eraldatud muutujatega harilikku diferentsiaalvõrrandisse ja korrutades A-ga saame Helmholtzi võrrandi:

Oma seotuse tõttu lainevõrrandiga kerkib Helmholtzi võrrand esile paljudes erinevates füüsika valdkondades nagu näiteks elektromagnetism, seismoloogia ja akustika.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]