Normaalvõnkumine

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Normaalvõnkumine ehk normaalmood on võnkuva süsteemi võnkevorm, mille puhul kõik süsteemi osad võnguvad lihtharmooniliselt ehk samal sagedusel. Seega liiguvad iga süsteemi osa ajas sinusoidaalselt sama võnkesageduse ja algfaasiga. Normaalvõnkumisele omaseid sagedusi nimetatakse ka süsteemi omavõnkesagedusteks. Igal füüsilisel kehal, näiteks ehitisiel või ka molekulil on oma normaalvõnkevormid, mis sõltuvad nende struktuurist, omadustest ja piiravatest rajatingimustest.

Silindrilise fikseeritud äärega membraani (m=1, n=1) normaalvõnkevorm.

Seotud otsillaatorite normaalvõnkumine[muuda | muuda lähteteksti]

Ühe lihtsaim süsteem, mille normaalvõnkumisi kirjeldada on seotud lihtharmoonilised ostsillaatorid. Näide seotud lihtharmoonilistest ostsillaatoritest on näiteks kahe võrdse massiga m keha horisontaalne sumbuvuseta võnkumine, kui kehad on ühendatud omavahel vedruga ja mõlemad kehad on ühendatud teiselt poolt vedruga liikumatu seina külge. Kõigi kolme vedru deformatsioonid alluvad Hooke'i seadusele ja kõigil on sama jäikus k. Kirjeldatud sümmeetrilist olukorda illustreerib allolev joonis:

Coupled Harmonic Oscillator.svg

Märgime vasakpoolse massi horisontaalset siiret x1(t) ja parempoolse massi horisontaalset siiret vastavalt x2(t).

Tähistades kiirendust ehk siirde x(t) teist tuletist aja järgi vastavalt saame liikumisvõrrandid kirjutada järgnevalt:

Kuna normaalvõnkumise korral peab mõlema massi võnkumine olema lihtharmooniline võib mõlema liikumise lahendi kirja panna kujul:

Asendades need liikumisvõrranditesse saame:

jagades võrrandid saame:

antud võrrandisüsteem on maatrikskujul:

Kui võrrandisüsteemil leiduvad ühesed lahendid peab maatriksil determinant võrduma nulliga, seega:

Lahendades antud ruutvõrrandi suhtes saame kaks positiivset lahendit:

Asendades ω1 võrrandisüsteemi ja lahendades (A1A2) suhtes , saame get (1, 1). Asendades ω2 võrrandisüsteemi, saame (1, −1). (Need vektoreid nimetatakse omavektoritesks ja vastavaid sagedusi omaväärtusteks.)

Esimene normaalvõnkevorm on:

mis vastab liikumisele, kus mõlemad massid liiguvad samasuunaliselt. Seda süsteemi normaalvõnkumist nimetatakse antisümmeetriliseks.

Teine normaalvõnkevorm on:

mis vastab masside vastassuunalisele liikumisele, samas püsib masside keskel olev vedru punkt liikumatuna. Seda normaalvõnkumist nimetatakse sümmeetriliseks.

Seotud ostsillaatorite liikumise üldlahendi saab moodustada normaalvõnkumiste summana, kus konstandid c1, c2, φ1, and φ2 määravad konkreetse ülesande algtingimused.

Antud lihtsat näidet saab üldistada kasutades analüütilise mehaanika ehk mehaanika Lagrange'i või Hamiltoni formuleeringuid.

Vaata ka[muuda | muuda lähteteksti]