Astendamine

Astendamiseks nimetatakse matemaatilist tehet aⁿ kahe arvuga: arvu n nimetatakse astendajaks ehk eksponendiks ning arvu a astendatavaks ehk astme aluseks. Kui n naturaalarv, siis tähendab astendaminen võrdse teguri a korrutamist:

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.\,$

Astendamise pöördtehted on juurimine ja logaritmimine.

Astme mõiste

Astmeks nimetatakse

• ühest suurema naturaalarvu n korral korrutist, milles on n võrdset tegurit a: $a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$
• negatiivse astendaja korral $a^{-n}={1 \over a^{n}}$, kui a ≠ 0
• a¹ = a
• a⁰ = 1, kui a ≠ 0
• ratsionaalarvulise astendaja korral $a^{m \over n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$, a > 0
• irratsionaalarvulise astendaja korral $a^{s}=\lim _{n\to \infty }{a^{r_{n}}}$, kus r_n on suvaline irratsionaalarvude jada, mille piirväärtuseks on irratsionaalarv s.

Astme omadused

1. Kui a > 0, siis iga reaalarvulise astendaja r korral ka a^r > 0
2. ${(-a)}^{2n}=a^{2n}$
3. ${(-a)}^{2n+1}=-a^{2n+1}$
4. Iga r > 0 korral 0^r = 0
5. 1^r=1

Tehted astmetega

1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liituvad a^r×a^s = a^r+s
2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel astendatavad korrutatakse a^r×b^r = (ab)^r
3. Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse ${a^{r} \over a^{s}}=a^{r-s}$
4. Võrdsete astendajatega astmete jagamisel astendatavad jagatakse ${a^{r} \over b^{r}}={\left({a \over b}\right)}^{r}$
5. Astme astendamisel astendajad korrutatakse ${(a^{r})}^{s}=a^{rs}$

Vaata ka

• Juur (matemaatika)
• Logaritm
• Newtoni binoomvalem
• Astmefunktsioon
• Aritmeetiline tehe