Arvtelg: erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

Reasisene

Redaktsioon: 15. juuni 2012, kell 23:28

Kuigi joonisel on näha ainult täisarvud –9-st kuni 9-ni, kujutab arvsirge kõiki reaalarve nii täisarvude vahel kui ka lõputult mõlemal pool joonise raame.

Siin on täisarvudele vastavad punktid markeeritud põikilõikudega.

Arvtelg ehk arvsirge ehk reaalsirge on reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvu null kujutis ja arvu üks kujutis.^[1] Sellega on ühtlasi fikseeritud ka kõikide teiste reaalarvude kujutised (punktipaaridele, mille punktide kaugus on võrdne, vastavad reaalarvude paarid, mille arvude vahe absoluutväärtus on võrdne).

Arvsirge konstrueerimine

Arvsirge saamiseks valime kõigepealt algpunkti $O$ , mis on arvu 0 kujutis, ning suuna (positiivse suuna), mis vastab arvude kasvamise suunale. Kui arvsirge on joonestatud horisontaalselt, siis on tavaliselt suuremad arvud paremal. Joonisel saab kujutada ainult osa sirgest; tavaliselt joonistatakse sirge katkestuskohale, mille suunas arvud kasvavad, noolepea, mis on suunatud arvude kasvamise suunas.

Et saada tavaline arvsirge ehk lineaarne arvsirge, kanname sirgele valitud võrdsetel kaugustel täisarvud (positiivsed paremale, negatiivsed vasakule. Sellega on valitud arvsirge skaala. Joonisel markeeritakse tavaliselt ainult täisarvudele vastavad punktid. Täisarvude vahelised vahemikud täidame ülejäänud reaalarvudega.

Mis tahes punktile arvsirgel vastab parajasti üks reaalarv ning ümberpöördult: igale reaalarvule $r$ vastab parajasti üks punkt $P$ arvteljel, nii et vektor $OP$ on suunatud positiivses suunas, kui $r>0$ , vastassuunas, kui $r<0$ või on punkt $O$ , kui $r=0$ ; ning vektori pikkus on absoluutväärtus $|r|$ .

Arvsirge näitlikustab ühemõõtmelist eukleidilist ruumi.

Arvsirget kasutatakse sageli kõigi reaalarvude hulga $\mathbb {R}$ kujutamiseks ja funktsioonide graafikute joonestamiseks. Arvsirge lõikudena kujutatakse intervalle. Arvsirget kasutatakse ka liitmise ja lahutamise õpetamisel, eriti tehete puhul negatiivsete arvudega. Samuti kasutatakse arvsirget võrratussüsteemide lahendamisel ning tehete puhul reaalarvude hulga alamhulkadega.

Ajalugu

Arvsirge kasutuselevõtjaks peetakse inglise matemaatikut John Wallist.

Arvsirge laiendused

Kui lisada sirgele otspunktid +∞ ja -∞, saame laiendatud arvsirge.

Kui lisame arvsirgele tasandil ristuva sirge, saame konstrueerida komplekstasandi, mille puhul tasandiga seatakse üksühesesse vastavusse kompleksarvude hulk. Arvsirge on sellisel juhul komplekstasandi reaaltelg.

Arvsirge modifikatsioonid

Eksponentsiaalse arvsirge ehk logaritmilise skaalaga arvsirge puhul vastavad etteantud kaugusele punktide vahel ühesugused proportsioonid arvude vahel. Eksponentsiaalsel arvsirgel on kujutatud ainult positiivsed reaalarvud.

Saab konstrueerida ka teistsuguseid arvsirgeid.

Arvkiirel on kujutatud ainult mittenegatiivsed arvud.

Vaata ka

Viited

↑ Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

[1] Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

[1]

@@ 1. rida: / 1. rida: @@
 [[Pilt:Real number line.svg|pisi|Arvtelg, millele on kantud naturaalarvude alus ''[[e (arv)|e]]'', arv ''[[pii|π]]'' ja [[ruutjuur kahest]] <math>\sqrt{2}</math>.]]
+[[Pilt:Number-line.gif|pisi|Kuigi joonisel on näha ainult täisarvud –9-st kuni 9-ni, kujutab arvsirge kõiki reaalarve nii täisarvude vahel kui ka lõputult mõlemal pool joonise raame.]]
-[[Pilt:Number-line.gif|pisi]]
-[[Pilt:Simple number line.svg|pisi]]
+[[Pilt:Simple number line.svg|pisi|Siin on täisarvudele vastavad punktid markeeritud põikilõikudega.]]
-'''Arvtelg''' ehk '''arvsirge''' ehk '''reaalsirge''' on [[reaalarv]]ude kujutamiseks kasutatav [[sirge]], millel on fikseeritud arvu [[null]] kujutis ja arvu [[üks]] kujutis.<ref> Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002) </ref> Sellega on ühtlasi fikseeritud ka kõikide teiste reaalarvude kujutised.
+'''Arvtelg''' ehk '''arvsirge''' ehk '''reaalsirge''' on [[reaalarv]]ude kujutamiseks kasutatav [[sirge]], millel on fikseeritud arvu [[null]] kujutis ja arvu [[üks]] kujutis.<ref> Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002) </ref> Sellega on ühtlasi fikseeritud ka kõikide teiste reaalarvude kujutised (punktipaaridele, mille punktide kaugus on võrdne, vastavad reaalarvude paarid, mille arvude [[vahe]] [[absoluutväärtus]] on võrdne).
 ==Arvsirge konstrueerimine==
-Arvsirge saamiseks valime kõigepealt algpunkti, mis on arvu 0 kujutis, ning [[suund|suuna]]. Kui arvsirge on joonestatud horisontaalselt, siis on tavaliselt suuremad arvud paremal.
+Arvsirge saamiseks valime kõigepealt algpunkti <math>O</math>, mis on arvu 0 kujutis, ning [[suund|suuna]] ([[positiivne suund|positiivse suuna]]), mis vastab arvude kasvamise suunale. Kui arvsirge on joonestatud horisontaalselt, siis on tavaliselt suuremad arvud paremal. Joonisel saab kujutada ainult osa sirgest; tavaliselt joonistatakse sirge katkestuskohale, mille suunas arvud kasvavad, noolepea, mis on suunatud arvude kasvamise suunas.
-Et saada tavaline arvsirge ehk '''lineaarne arvsirge''',  kanname sirgele valitud võrdsetel kaugustel [[täisarv]]ud ([[positiivne arv|positiivsed]] paremale, [[negatiivne arv|negastiivsed]] vasakule. Täisarvude vahelised vahemikud täidame ülejäänud reaalarvudega.
+Et saada tavaline arvsirge ehk '''lineaarne arvsirge''',  kanname sirgele valitud võrdsetel kaugustel [[täisarv]]ud ([[positiivne arv|positiivsed]] paremale, [[negatiivne arv|negatiivsed]] vasakule. Sellega on valitud arvsirge skaala. Joonisel markeeritakse tavaliselt ainult täisarvudele vastavad punktid. Täisarvude vahelised vahemikud täidame ülejäänud reaalarvudega.
-Mis tahes [[punkt (matemaatika)|punkt]]ile arvsirgel vastab parajasti üks reaalarv ning ümberpöördult: igale reaalarvule vastab parajasti üks punkt.
+Mis tahes [[punkt (matemaatika)|punkt]]ile arvsirgel vastab parajasti üks reaalarv ning ümberpöördult: igale reaalarvule <math>r</math> vastab parajasti üks punkt <math>P</math> arvteljel, nii et vektor <math>OP</math> on suunatud positiivses suunas, kui <math>r>0</math>, vastassuunas, kui <math>r<0</math> või on punkt <math>O</math>, kui <math>r=0</math>; ning vektori [[pikkus]] on [[absoluutväärtus]] <math>|r|</math>.
+Arvsirge näitlikustab [[ühemõõtmeline eukleidiline ruum|ühemõõtmelist eukleidilist ruumi]].
-[[Eksponentsiaalne arvsirge|Eksponentsiaalse arvsirge]] puhul vastavad etteantud kaugusele punktide vahel ühesugused proportsioonid arvude vahel.
+Arvsirget kasutatakse sageli [[reaalarvude hulk|kõigi reaalarvude hulga]] <math>\mathbb{R}</math> kujutamiseks ja [[funktsioon (matemaatika)|funktsioon]]ide [[graafik]]ute joonestamiseks. Arvsirge [[lõik]]udena kujutatakse [[intervall]]e. Arvsirget kasutatakse ka [[liitmine|liitmise]] ja [[lahutamine|lahutamise]] õpetamisel, eriti tehete puhul [[negatiivne arv|negatiivsete arvudega]]. Samuti kasutatakse arvsirget [[võrratussüsteem]]ide lahendamisel ning tehete puhul reaalarvude hulga [[alamhulk]]adega.
-Saab konstrueerida ka teistsuguseid arvsirgeid.
-==Laiendused==
+==Ajalugu==
+Arvsirge kasutuselevõtjaks peetakse inglise matemaatikut [[John Wallis]]t.
+== Arvsirge laiendused==
 Kui lisada sirgele otspunktid +∞ ja -∞, saame [[laiendatud arvsirge]].
-Kui lisame arvsirgele [[tasand]]il ristuva sirge, saame konstrueerida [[komplekstasand]]i.
+Kui lisame arvsirgele [[tasand]]il ristuva sirge, saame konstrueerida [[komplekstasand]]i, mille puhul [[tasand]]iga seatakse [[üksühene vastavus|üksühesesse vastavusse]] [[kompleksarvude hulk]]. Arvsirge on sellisel juhul komplekstasandi [[reaaltelg]].
+== Arvsirge modifikatsioonid==
+[[Eksponentsiaalne arvsirge|Eksponentsiaalse arvsirge]] ehk logaritmilise skaalaga arvsirge puhul vastavad etteantud kaugusele punktide vahel ühesugused proportsioonid arvude vahel. Eksponentsiaalsel arvsirgel on kujutatud ainult positiivsed reaalarvud.
+Saab konstrueerida ka teistsuguseid arvsirgeid.
+[[Pilt:Zahlenstrahl2.gif|pisi]]
+[[Arvkiir]]el on kujutatud ainult [[mittenegatiivne arv|mittenegatiivsed arvud]].
 == Vaata ka ==
 * [[Komplekstasand]]
+* [[Arvkiir]]
 * [[Lõik]]
+* [[Suunatud lõik]]
+* [[Ühikringjoon]]
+* [[Heine-Boreli teoreem]]
+* [[Boreli hulk]]
+* [[Descartesi ristkoordinaadid]]
+* [[Arv]]
+* [[Meetriline ruum]]
+* [[Birkhoffi aksiomaatika]]
 == Viited ==