Poolrühm

Poolrühm (ingl semigroup) on rühmoid, mille tehe on assotsiatiivne.

Tehe

Poolrühmal defineeritud tehe on kahekohaline algebraline tehe. Poolrühma elementide $x$ ja $y$ korral tähistatakse neid elemente koos neil rakenduva tehtega järgmiselt:

$x\cdot y$ (või lihtsalt $xy$).

Seda võib mõista ka kui poolrühma operaatori rakendamist järjestatud paarile $(x,y)$.

Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on korrutamine. Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks liitmine, suurima ühisteguri leidmine, vähima ühiskordse leidmine, lahutamine jms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt ${\textstyle x+y}$, $max(x,y)$, $min(x,y)$, $x-y$ jms.

Assotsiatiivsus

Assotsiatiivse tehte all rühmoidis mõeldakse võrdust

$(xy)z=x(yz)$,

kus $x,y$ ja $z$ on antud rühmoidi suvalised elemendid. On selge, et selline rühmoid on ühtlasi poolrühm.

Üldistades eelnevat võrdust kõigile poolrühmadele, võib öelda, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest. See tähendab, et poolrühma mistahes elementide $x_{1}x_{2}...x_{n}$ning indeksite $i$ ja $j$ ($i\neq j,1\leq i,j\leq n-1$) kehtib järgmine võrdus:

$(x_{1}x_{2}...x_{i})(x_{i+1}x_{i+2}...x_{n})=(x_{1}x_{2}...x_{j})(x_{j+1}x_{j+2}...x_{n})$.

Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma alampoolrühmade korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks $X,Y$ ja $Z$. Siis

$(XY)Z=X(YC)$.

Korrutamine

Olgu $X$ poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi $x\in X$ astmed järgmiselt:

$x^{n}=\underbrace {xxx\cdots x} _{n}$.

Liitmine

Olgu $X'$ poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi $x\in X'$ kordsed järgmiselt:

$nx=\underbrace {x+x+\cdots +x} _{n}$.

Elemendid

Poolrühma suvalist elementi $e$ nimetatakse idempotendiks, kui $e^{2}=e$.

Eri tüüpi poolrühmi

Kommutatiivne poolrühm

Kui poolrühma suvaliste elementide $x$ ja $y$ korral kehtib võrdus $xy=yx$, siis nimetatakse seda poolrühma kommutatiivseks poolrühmaks.

Vaba poolrühm

Poolrühma $X$ elementidest koosnevatest lõplikest jadadest koosnevat struktuuri nimetatakse vabaks poolrühmaks (tähistus $X'$), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.

Näide 1.

Jadade $(abcd),(lmnop)\in X'$ ning elementide $a,b,c,d,l,m,n,o,p\in X$ korral:

$(abcd)(lmnop)=abcdlmnop$.

Näide 2.

Olgu $\bigtriangleup \in X$. Siis $\bigtriangleup \bigtriangleup ,\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup ,...\in X'$.

Seega $(\bigtriangleup \bigtriangleup )(\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup )=\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup$või liitmistehte korral: $\bigtriangleup \bigtriangleup +\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup =\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup$.

Seos teiste struktuuridega

Poolrühm on üks algebralistest struktuuridest. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks rühmoidis, monoidis, rühmas ja Abeli rühmas.

Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.

Lisades aga ühikelemendi nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.

Näited

Poolrühm on:

• naturaalarvude hulk korrutamise suhtes,
• naturaalarvude hulk liitmise suhtes,
• naturaalarvude hulk suurima ühisteguri võtmise suhtes,
• naturaalarvude hulk vähima ühiskordse leidmise suhtes,
• täisarvude hulk korrutamise suhtes,
• täisarvude hulk liitmise suhtes,
• ratsionaalarvude hulk korrutamise suhtes,
• ratsionaalarvude hulk liitmise suhtes,
• reaalarvude hulk korrutamise suhtes,
• reaalarvude hulk liitmise suhtes,
• vektorruum vektorite tavalise liitmise suhtes,
• vasakpoolse korrutamisega rühmoid (ehk vasakpoolne tegur on alati korrutiseks, st $xy=x$).

Poolrühm ei ole:

• täisarvude hulk lahutamise suhtes,
• vektorruum vektorite korrutamise suhtes.