Poolrühm

Poolrühm (inglise keeles semigroup) on rühmoid, mille tehe on assotsiatiivne.

Poolrühmi uurib algebra haru, mida kutsutakse poolrühmateooriaks.

Definitsioon

Poolrühmaks nimetatakse hulka S koos kahekohalise algebralise tehtega $*:S\times S\to S,\;(x,y)\mapsto x*y$ (igale hulga S elementide järjestatud paarile (x,y) seatakse vastavusse mingi element hulgast S, mida tähistatakse x*y), mis on assotsiatiivne, st kõikide hulga S elementide x, y, z korral kehtib võrdus

(x*y)*z=x*(y*z).

Näiteks naturaalarvude hulk $\mathbb {N}$ on poolrühm nii hariliku korrutamistehte kui ka hariliku liitmistehte suhtes. Ka täisarvude hulk $\mathbb {Z}$ on poolrühm liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamistehte suhtes (sest näiteks $(1-2)-3=-4\neq 2=1-(2-3)$ ).

Tehe

Poolrühmal defineeritud tehe on kahekohaline algebraline tehe. Poolrühma elementide $x$ ja $y$ korral tähistatakse nendele elementidele tehte rakendamisel saadavat elementi tihti ka järgmiselt:

x\cdot y

(või lihtsalt

xy

).^[1]

Seda võib mõista ka kui poolrühma operaatori rakendamist järjestatud paarile $(x,y)$ .^[1]

Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on korrutamine.^[2] Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks liitmine, maksimumi võtmine, suurima ühisteguri leidmine, vähima ühiskordse leidmine vms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt ${\textstyle x+y}$ , $max(x,y)$ , $min(x,y)$ vms.

Assotsiatiivsus

Assotsiatiivsuse samasuse abil saab tõestada, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest.^[2] Näiteks elemendid

x*(y*(z*w))

ja

(x*y)*(z*w)

on võrdsed. Selle omaduse tõttu jäetakse poolrühma elementidega arvutades sulud tihti üldse kirjutamata.

Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma alampoolrühmade korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks $X,Y$ ja $Z$ . Siis

(XY)Z=X(YC)

.^[1]

Korrutamine

Olgu $X$ poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi $x\in X$ astmed järgmiselt:

x^{n}=\underbrace {xxx\cdots x} _{n}

.^[2]

Liitmine

Olgu $X'$ poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi $x\in X'$ kordsed järgmiselt:

nx=\underbrace {x+x+\cdots +x} _{n}

.^[2]

Elemendid

Poolrühma $(S,*)$ elementi $e$ nimetatakse idempotendiks, kui $e*e=e$ (ehk $e^{2}=e$ ).^[2]

Poolrühma $(S,*)$ elementi $z$ nimetatakse nullelemendiks, kui $z*x=z=x*z$ iga $x\in S$ korral. Poolrühmas saab olla ainult üks nullelement ja harilikult tähistatakse seda sümboliga $0$ .

Eri tüüpi poolrühmi

Kommutatiivne poolrühm

Kui poolrühma suvaliste elementide $x$ ja $y$ korral kehtib võrdus $xy=yx$ , siis nimetatakse seda poolrühma kommutatiivseks poolrühmaks.^[1]

Vaba poolrühm

Poolrühma $X$ elementidest koosnevatest lõplikest jadadest koosnevat struktuuri nimetatakse vabaks poolrühmaks (tähistus $X'$ ), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.^[2]

Näide 1.

Jadade $(abcd),(lmnop)\in X'$ ning elementide $a,b,c,d,l,m,n,o,p\in X$ korral:

(abcd)(lmnop)=abcdlmnop

.

Näide 2.

Olgu $\bigtriangleup \in X$ . Siis $\bigtriangleup \bigtriangleup ,\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup ,...\in X'$ .

Seega $(\bigtriangleup \bigtriangleup )(\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup )=\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup$ või liitmistehte korral: $\bigtriangleup \bigtriangleup +\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup =\bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup \bigtriangleup$ .

Seos teiste struktuuridega

Poolrühm on üks algebralistest struktuuridest. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks rühmoidis, monoidis, rühmas ja Abeli rühmas.^[2]

Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.^[2]

Lisades aga ühikelemendi nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.^[2]

Näited

Poolrühm on:

naturaalarvude hulk korrutamise suhtes,
naturaalarvude hulk liitmise suhtes,
naturaalarvude hulk suurima ühisteguri võtmise suhtes,
naturaalarvude hulk vähima ühiskordse leidmise suhtes,
täisarvude hulk korrutamise suhtes,
täisarvude hulk liitmise suhtes,
ratsionaalarvude hulk korrutamise suhtes,
ratsionaalarvude hulk liitmise suhtes,
reaalarvude hulk korrutamise suhtes,
reaalarvude hulk liitmise suhtes,
vektorruum vektorite tavalise liitmise suhtes,
hulga X kõigi teisenduste hulk T(X) teisenduste järjestrakendamise suhtes,
n-ndat järku reaalarvuliste elementidega ruutmaatriksite hulk maatriksite korrutamise suhtes,
vasakpoolse korrutamisega rühmoid (ehk vasakpoolne tegur on alati korrutiseks, st $xy=x$ iga x ja y korral).

Poolrühm ei ole:

naturaalarvude hulk astendamise suhtes,
täisarvude hulk lahutamise suhtes,
kolmemõõtmelise ruumi vabavektorite vektorruum vektorkorrutamise suhtes.

Viited

1 2 3 4 J. M. Howie (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: Oxford University Print Inc.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 M. Kilp (2005). Algebra I. Tartu: Eesti Matemaatika Selts.

[:0-1] 1 2 3 4 J. M. Howie (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: Oxford University Print Inc.

[:1-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M. Kilp (2005). Algebra I. Tartu: Eesti Matemaatika Selts.

[1]

[2]