Poolrühm

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Poolrühm (ingl semigroup) on rühmoid, mille tehe on assotsiatiivne.

Tehe[muuda | muuda lähteteksti]

Poolrühmal defineeritud tehe on kahekohaline algebraline tehe. Poolrühma elementide ja korral tähistatakse neid elemente koos neil rakenduva tehtega järgmiselt:

(või lihtsalt ).[1]

Seda võib mõista ka kui poolrühma operaatori rakendamist järjestatud paarile .[1]

Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on korrutamine.[2] Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks liitmine, suurima ühisteguri leidmine, vähima ühiskordse leidmine, lahutamine jms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt , , , jms.

Assotsiatiivsus[muuda | muuda lähteteksti]

Assotsiatiivse tehte all rühmoidis mõeldakse võrdust

,

kus ja on antud rühmoidi suvalised elemendid. On selge, et selline rühmoid on ühtlasi poolrühm.[1]

Üldistades eelnevat võrdust kõigile poolrühmadele, võib öelda, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest. See tähendab, et poolrühma mistahes elementide ning indeksite ja () kehtib järgmine võrdus:

.[2]

Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma alampoolrühmade korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks ja . Siis

.[1]

Korrutamine[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi astmed järgmiselt:

.[2]

Liitmine[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi kordsed järgmiselt:

.[2]

Elemendid[muuda | muuda lähteteksti]

Poolrühma suvalist elementi nimetatakse idempotendiks, kui .[2]

Eri tüüpi poolrühmi[muuda | muuda lähteteksti]

Kommutatiivne poolrühm[muuda | muuda lähteteksti]

Kui poolrühma suvaliste elementide ja korral kehtib võrdus , siis nimetatakse seda poolrühma kommutatiivseks poolrühmaks.[1]

Vaba poolrühm[muuda | muuda lähteteksti]

Poolrühma elementidest koosnevatest lõplikest jadadest koosnevat struktuuri nimetatakse vabaks poolrühmaks (tähistus ), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.[2]

Näide 1.

Jadade ning elementide korral:

.

Näide 2.

Olgu . Siis .

Seega või liitmistehte korral: .

Seos teiste struktuuridega[muuda | muuda lähteteksti]

Poolrühm on üks algebralistest struktuuridest. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks rühmoidis, monoidis, rühmas ja Abeli rühmas.[2]

Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.[2]

Lisades aga ühikelemendi nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.[2]

Näited[muuda | muuda lähteteksti]

Poolrühm on:

Poolrühm ei ole:

  • täisarvude hulk lahutamise suhtes,
  • vektorruum vektorite korrutamise suhtes.

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 J. M. Howie (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: Oxford University Print Inc. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 M. Kilp (2005). Algebra I. Tartu: Eesti Matemaatika Selts.