Subfaktoriaal

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Subfaktoriaal Faktoriaal
0 1 1
1 0 1
2 1 2
3 2 6
4 9 24
5 44 120
6 265 720
7 1854 5040
8 14 833 40 320
9 133 496 362 880
10 1 334 961 3 628 800

Subfaktoriaal ehk de Montmorti arv ehk korratuste arv (tähis ) on peamiselt kombinatoorikas kasutatav funktsioon, mis seab igale naturaalarvule vastavusse -elemendilise hulga korratuste ehk püsipunktita permutatsioonide hulga.

!n näitab näiteks, mitmel viisil saab n inimest vahetada kingitusi nii, et igaüks annab ühe kingituse kellelegi teisele ja saab täpselt ühe kingituse kelleltki teiselt.

Subfaktoriaal on tihedalt seotud faktoriaaliga , mis annab -elemendilise hulga permutatsioonide koguarvu, ning on faktoriaali järgi ka nime saanud. Subfaktoriaal ei ületa kunagi faktoriaali:

.

Subfaktoriaal on ligikaudu võrdne faktoriaali ja arvu e jagatisega.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Naturaalarvu subfaktoriaal defineeritakse faktoriaali kaudu valemiga

.

Subfaktoriaal vastab -elemendilise hulga püsipunktita permutatsioonide (korratuste) arvule, faktoriaal aga kõigi võimalike permutatsioonide arvule.

Näide[muuda | muuda lähteteksti]

Oletame, et meil on kuus eri värvi kuulikest ja iga kuulikese jaoks kast, mis on sellega ühte värvi. Tuleb leida, mitu võimalust on jagada kuulikesed kastidesse nii, et igas kastis on täpselt üks kuulike, aga ükski kuulike ei ole kastis, mis on sellega ühte värvi. Neid võimalusi on täpselt

.

Teised esitused[muuda | muuda lähteteksti]

Ümardusesitused[muuda | muuda lähteteksti]

Subfaktoriaali lähenduste võrdlus
1 0,37 0 0,74 0
2 0,74 1 1,10 1
3 2,21 2 2,58 2
4 8,83 9 9,20 9
5 44,15 44 44,51 44
6 264,87 265 265,24 265
7 1854,11 1854 1854,48 1854
8 14832,90 14833 14833,27 14833
9 133496,09 133496 133496,46 133496

Kehtib valem

,

kus on arv e ja on mittetäielik gammafunktsioon.

Väga hea lähendus on

.

Ümardamise abil saab kohta anda isegi täpse valemi

,

kus tähistab arvule lähimat täisarvu.

Kui viimasesse valemisse lisada enne jagamist veel ühe liitmine, siis ei ole enam tarvis vahet teha, kas ümardatakse alla- või ülespoole. Selle asemel kasutatakse lihtsalt täisosa, nii et : avaldub nii:

,

kus tähistab arvu täisosa[1].

Rekursiivsed esitused[muuda | muuda lähteteksti]

Subfaktoriaali rekurrentne esitus
1 1 1 −1 0
2 0 0 +1 1
3 1 3 −1 2
4 2 8 +1 9
5 9 45 −1 44
6 44 264 +1 265
7 265 1855 −1 1854
8 1854 14832 +1 14833
9 14833 133497 −1 133496

Subfaktoriaali saab arvutada ka rekurrentselt valemite

()

ja

()

järgi. Avaldis vastab -elemendilise hulga püsipunktita permutatsioonide arvule ühe fikseeritud elemendi korral (jada A0002555 saidil OEIS).

Veel üks rekurrentne valem binoomkordajate kaudu on järgmine:

Selle saame järgmistel kaalutlustel. Permutatsioone on kokku . püsipunkti saab valida viisil. Püsipunktita permutatsioone ülejäänud elemendiga on .

Integraalesitus[muuda | muuda lähteteksti]

Järgnev integraalesitus päratu integraali kaudu üldistab subfaktoriaali naturaalarvudelt kompleksarvudele, mille reaalosa on suurem kui math>-1</math>:

.

Maatriksesitus[muuda | muuda lähteteksti]

!n on sellise n-nda astme ruutmaatriksi permanent, mille peadiagonaalil on nullid ja mille ülejäänud elemendid on ühed.

Umbraalarvutus[muuda | muuda lähteteksti]

Umbraalarvutuses kehtivad formaalsed samasused

ja

,

kus tähistab ja tähistab .

Väärtuste tabel[muuda | muuda lähteteksti]

!1 = 0
!2 = 1
!3 = 2
!4 = 9
!5 = 44
!6 = 265
!7 = 1 854
!8 = 14 833
!9 = 133 496
!10 = 1 334 961
!11 = 14 684 570
!12 = 176 214 841
!13 = 2 290 792 932
!14 = 32 071 101 049
!15 = 481 066 515 734
!16 = 7 697 064 251 745
!17 = 130 850 092 279 664
!18 = 2 355 301 661 033 953
!19 = 44 750 731 559 645 106
!20 = 895 014 631 192 902 121
!21 = 18 795 307 255 050 944 540

Meelelahutusmatemaatika[muuda | muuda lähteteksti]

Ainus subfaktorioon, st ainus arv, mis võrdub oma kümnendesituse numbrite subfaktoriaalide summaga, on[2]

.

Mängus "Neli nelja" mõne variandi puhul on kasulik teada, et !4 = 9.

Tähistused[muuda | muuda lähteteksti]

!n on kõige levinum tähistus, kuid see on ebamugav, sest faktoriaali tähistusega segiajamise vältimiseks tuleb kasutada sulgi. Teised tähistused on M(n) (pärineb Pierre Rémond de Montmortilt), h(n, 0) (pärineb Donald Knuthilt), Mn ja n¡ .

Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]

Korratuste arvuga tegelesid esimestena Leonhard Euler ja Nikolaus II Bernoulli.

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Mehdi Hassani. Derangements and Applications. – Journal of Integer Sequences, 2003, kd 6, artikkel 03.1.2.
  2. Joseph S. Madachy. Madachy's Mathematical Recreations, |New York: Dover 1979, lk 167.

Kirjandus[muuda | muuda lähteteksti]

  • David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, 2. trükk. 1997, 1997, ISBN 0140261494, lk 104.
  • Joseph S. Madachy. Madachy's Mathematical Recreations, New York: Dover 1979, lk 167.

Välislingid[muuda | muuda lähteteksti]