Mine sisu juurde

Rühma toime

Allikas: Vikipeedia

Matemaatikas kuuluvad rühma toime juurde rühm "aktiivse" osana ja hulk "passiivse" osana. Elemendi toime hulgal on selle hulga teisendus. Seejuures toimivad elemendid hulga elementidel nii, et korrutise toime vastab kummagi toime järjestikusele rakendamisele (toimete kompositsioonile).

Toimivat rühma nimetatakse teisenduste rühmaks. Hulka koos rühma toimega hulgal nimetatakse -hulgaks.

Kui hulga juures on oluline struktuur, olgu siis algebraline, geomeetriline või topoloogiline, peetakse rühma toimet lubatavaks ainult juhul, kui ta säilitab selle struktuuri.

Rühma toime võimaldab algebras, geomeetrias ja teistes matemaatika harudes kirjeldada objektide sümmeetriaid sümmeetriarühmade abil. Siin on esiplaanil selle hulga uurimine, millel hulk toimib. Teiselt poolt võib etteantud rühma toime sobivalt valitud hulkadel anda rühmateoorias olulist informatsiooni toimiva rühma struktuuri kohta. Sel juhul on esiplaanil toimiva rühma uurimine.

Sissejuhatav näide: kuubirühm ja kuubi diagonaalid[muuda | muuda lähteteksti]

olgu kuubi tipud tavalises tähistuses, st ja on vastastahud (esimene pilt). Kuubi pööre ümber telje, mis ühendab nende kahe tahu keskpunkte, (teine pilt) toob kaasa järgmise tippude vahetuse:

  ja samal ajal

Pöördega vahetatakse ka (samal ajal) neli kuubi diagonaali, nimelt

Veel üks sümmeetriakujutus, peegeldus tasandi suhtes (neljas pilt), jätab kaks diagonaali ja paigale ning vahetab teised kaks

  ja   .

Kuubil on aga ka sümmeetriakujutusi, mis diagonaale omavahel ei vaheta, nimelt peegeldus keskpunkti suhtes (kolmas pilt). See kujutab

  ja samal ajal
  ja samal ajal
  ja samal ajal

Seejuures iga diagonaal kujutub iseendaks.

Öeldakse, et kuubi sümmeetriate rühm (kuubirühm ehk oktaeedrirühm) toimib tippude hulgal, servade hulgal, diagonaalide hulgal jne. Järgnevas on vaadeldud toimet diagonaalidele.

Iga diagonaalide paari korral (joonisel paar ja ) leidub peegeldus tasandi suhtes, mis vahetab need omavahel ära ning jätab kõik teised diagonaalid paigale, nimelt selle tasandi suhtes, mis sisaldab paigalejäävaid diagonaale. Niisugust ühe paari vahetust nimetatakse transpositsioonks, ja need transpositsioonid tekitavad kogu nelja diagonaali permutatsioonide sümmeetrilise rühma. Et neid permutatsioone on ning sümmeetriateisendusi, mis jätavad kõik diagonaalid paigale, on kaks (identsusteisendus ja peegeldus punkti suhtes), siis on kuubi sümmeetriateisendusi

.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

(Vasakpoolne) toime[muuda | muuda lähteteksti]

Rühma (vasakpoolne) toime hulgal on binaarne tehe

järgmiste omadustega:

  1. kõikide korral , kus on rühma neutraalne element,
  2. kõikide korral .

Siis öeldakse, et rühm toimib (vasakult) hulgal , ja nimetatakse hulka koos selle rühma toimega (vasakpoolseks) -hulgaks.

Neist nõudmistest järeldub, et iga korral on kujutus bijektsioon (pöördteisendus on ). Sellepärast ei ole rühma elemendi toime mitte ainult teisendus, vaid hulga substitutsioon, ja rühma toimmet hulgal võib samastada r homomorfismiga rühmast sümmeetrilisse rühma .

Parempoolne toime[muuda | muuda lähteteksti]

Analoogselt vasakpoolse toimega on parempoolne toime binaarne tehe

,

kus

  1. kõikide korral, kus on rühma neutraalne element,
  2. kõikide korral.

Erinevus vasakpoolsete ja parempoolsete toimete vahel seisneb viisis, kuidas hulgal toimivad tehted . Vasakpoolse toime puhul toimib kõigepealt ja siis , parempoolse toime puhul on järjekord vastupidine.

Parempoolsest toimest saab konstrueerida vasakpoolse toime, esitades seda vasturühma vasakpoolse toimena või ka pannes rühma elemendi vasakpoolse toime asemele elemendi parempoolse toime. Igale parempoolsele toimele vastab vasakpoolne toime

sest

ja

Analoogselt saab muuta vasakpoolset toimet parempoolseks. Et vasakpoolsel ja parempoolsel toimel ei ole olemuslikku erinevust, siis järgnevalt tuleb juttu ainult vasakpoolsetest toimetest.

Veel mõisteid[muuda | muuda lähteteksti]

Orbiit[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu rühma toime hulgal Iga korral nimetatakse siis hulka

elemendi orbiidiks. Orbiidid moodustavad hulga klassijaotuse. Orbiidi elementide arvu (või võimsust) nimetatakse ka orbiidi pikkuseks. Väljavalitud korral nimetatakse eeskirjaga

antud kujutust orbiidikujutuseks.

Orbiidid on ekvivalentsiklassid ekvivalentsusseose

suhtes, mis on defineeritud nii: leidub nii, et .

Ekvivalentsiklasside hulka nimetatakse orbiidiruumiks.

Fundamentaalpiirkond[muuda | muuda lähteteksti]

 Pikemalt artiklis Fundamentaalpiirkond

Olgu topoloogiline ruum ja rühm, mis toimib hulgal . Punkti korral tähistagu punkti orbiiti. Siis nimetatakse hulka ruumi fundamentaalpiirkonnaks, kui ühisosa on iga korral on üheelemendiline hulk.[1]

Näide

Ruut on on ruumi fundamentaalpiirkond teisenduste rühma suhtes. Iga punkti saab esitada kujul , kus ja .

Transitiivsed ja teravalt transitiivsed toimed[muuda | muuda lähteteksti]

Rühma toimet hulgal nimetatakse (lihtsalt) transitiivseks või öeldakse "rühm toimib (lihtsalt) transitiivselt hulgal “, kui iga kahe elemendi puhul leidub nii, et . Sel juhtumil leidub ainult üks orbiit, mis hõlmab kogu hulga . Kui peale selle on rühma element , mille korral kahe suvalise elemendiga üheselt määratud, siis nimetatakse rühma toimet teravalt (lihtsalt) transitiivseks.

Kui ka iga kahe erineva ja iga kahe erineva korral leidub rühma element , mille korral ja , siis nimetatakse rühma toimet kahekordselt transitiivseks ja kui lisaks leidub alati parajasti üks rühma element, millel on see omadus, siis nimetatakse rühma toimet teravalt kahekordselt transitiivseks.

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Guido Walz. Fundamentalbereich – Lexikon der Mathematik, 1. trükk, Spektrum Akademischer Verlag: Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN=3-8274-0439-8.