Omaväärtus ja omavektor

Allikas: Vikipeedia
Mine navigeerimisribale Mine otsikasti

Lineaaralgebras maatriksi A omavektor (inglise keeles eigenvector) on mingi mittenull vektor, kus maatriksi ja vektori korrutis on võrdne mingi skalaari ja vektori korrutisega. Seda skalaari nimetatakse omaväärtuseks.[1] Omaväärtused on laialdaselt kasutused erinevates valdkondades, näiteks informatsiooniteoorias, ehituses, stereo süsteemides, elektrilises ning mehaanilises inseneerias.[2]

Omaväärtus rahuldab võrrandit , mille saab ümber kirjutada kujule . Kuna omavektor on mittenull, saame leida omaväärtuse lahendades karakteristliku võrrandi . Maatriksi karakterisliku võrrandi kõikide lahenduste hulka nimetatakse spektriks. Teisest küljest, kui maatriksil on teada, saab leida omavektori lahendades võrrandi .[1]

Siinses transformatsioonis on sinine vektor omavektor, kuna ta ei muutu. Praegusel juhul omavektori pikkus jääb samaks, seega omaväärtus on 1.

Mona Lisa illustratsioon annab hea näite. Pildil saab igat punkti kohelda kui vektorit keskpunktist. Näites kasutatakse shear teisendust, kus x-teljest kõrgemaid punkte nihutatakse paremale ning madalamaid vasakule, kusjuures x-telg ise jääb samaks. Suvaline x on omavektor siis ja ainult siis, kui ta on x-teljega kolineaarne, kuna x-telg jääb pärast transformeerimist konstantseks.

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Maatriksitel ja on võrdsed omaväärtused.
  2. Ruutmaatriksi A omaväärtuste summa on võrdne A jäljega ning korrutis determinandiga
  3. Sümmeetrilise maatriksi astak võrdub tema mittenulliliste omaväärtuste arvuga.
  4. Kui on maatriksi omaväärtus, siis on maatriksi omaväärtus.
  5. Olgu -maatriks, diagonaalmaatriks, mille peadiagonaalil paiknevad maatriksi omaväärtused ning -maatriks, mis koosneb maatriksi omaväärtustele vastavatest omavektoritest. Kui on mittesingulaarne, siis on maatriks avaldatav kujul .[1]

Arvutus[muuda | muuda lähteteksti]

Omaväärtuste arvutamine on teoorias ja praktikas väga erinev. Klassikaliselt leitakse enne omaväärtus ning seejärel omavektorid iga omaväärtuse kohta. On aga leitud, et see viis ei anna häid tulemusi ujukomaarvudega nende ebatäpsuse tõttu.

Omaväärtused[muuda | muuda lähteteksti]

Maatriksi A omaväärtused saab arvutada leides lahendused karakteristlikule võrrandile. See on lihtne maatriksite korral, aga muutub kompleksemaks maatriksi suuruse kasvades.

Teoorias, karakteristliku võrrandi kordajad saab arvutada täpselt, kuna nad on maatriksi elementide korrutiste summa ja leiduvad algoritmid, mis suudavad leida kõik nullkohad suvalisele polünoomile vajaoleval täpsusel.[3] See lähenemine aga ei anna praktikas täpseid tulemusi, kuna ujukomaarvude kasutamine tekitab ümardusvigu ning nullkohad võivad olla sensitiivsed väikestele muudatustele.[3] Isegi täisarvuliste maatriksite puhul on arvutus mittetriviaalne, kuna summad on väga pikad. Determinandi arvutamiseks on vaja maatriksil vaja korrutustehet.

Omevektorid[muuda | muuda lähteteksti]

Kui täpne omaväärtus on teada, saab arvutada vastava omavektori leides lahendused võrrandile Ax = λx, mis on siis võrrandsüsteem teatud kordajatega. Näiteks, kui on teada, et maatriksi

omaväärtus on 6, saame leida omavektorid lahendades võrrandi :

See maatriksite võrrand on ekvivalentne kahele lineaarsele võrrandile:

     ehk     

Mõlemad võrrandid lihtsustuvad . Seega iga vektor , kus on mingi suvaline reaalarv, on maatriksi A omaväärtusega omavektor.

Iteratiivne meetod[muuda | muuda lähteteksti]

Arvutitel kasutatakse vastupidist meetodit, kus algul leitakse omavektorid ning seejärel nendele vastavad omaväärtused. Lihtsaim algoritm alustab suvalise vektoriga ning korrutab seda maatriksiga korduvalt. Kui seda piisavalt kaua teha, läheneb see vektor selle maatriksi omavektorile. Sellele ekvivalentselt saab vektorit korrutada maatriksiga , mille tagajärjel läheneb see vektor omavektorile, mis vastab omaväärtusele, mis on lähim arvule .

Kui on ligikaudne maatriksi omavektor, siis vastava omaväärtuse saab leida valemiga

kus on maatriksi kaasmaatriks.

Kasutus[muuda | muuda lähteteksti]

Pilditöötluses on võimalik arvutada omanägu (inglise keeles eigenface), mis on hulk omavektoreid, mis on kasuks näotuvastuses.[4] Need omavektorid on arvutatud tõenäosusjaotuse kovariantsimaatriksist üle kõrgdimensionaalse näopiltide vektorruumi. Omanäod moodustavad ise kõigi kovariantsimaatriksi konstrueerimisel kasutatud piltide baaside hulga. See vähendab dimensiooni, võimaldades esindada algseid treeningkujutisi väiksemate aluspilte baaside hulgana. Klassifikatsiooni saab sel juhul teha baaside hulkade peal.

Google'i PageRanki algoritm kasutab omaväärtusi ja omavektoreid, et arvutada võtmesõnale vastava lehekülje tõenäosust.[5]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. 1,0 1,1 1,2 Tanel Kaart. "Omaväärtused ja omavektorid".
  2. Michael Nasab. "Some Applications of the Eigenvalues and Eigenvectors of a square matrix". Failitüüp: pdf.
  3. 3,0 3,1 Trefethen & Bau 1997.
  4. Navarrete, Pablo; Ruiz-Del-Solar, Javier (November 2002). "Analysis and Comparison of Eigenspace-Based Face Recognition Approaches". International Journal of Pattern Recognition and Artificial Intelligence 16 (7): 817–830. doi:10.1142/S0218001402002003. 
  5. Interactive Mathematics. "Applications of Eigenvalues and Eigenvectors".