Ringi ideaal

Üldalgebras nimetatakse ringi ideaaliks (ehk ideaaliks selles ringis) selle ringi alamhulka, mis sisaldab nullelementi ning on kinnine oma elementide liitmise ja lahutamise suhtes ning on kinnine ringi mis tahes elemendiga (vasakult või paremalt) korrutamise suhtes.

Näiteks on kahe paarisarvu summa ja vahe jälle paarisarvud ning paarisarvu korrutis mis tahes täisarvuga on samuti paarisarv. Seega on paarisarvude hulk täisarvude ringi ideaal.

Nimetus "ideaal" on tuletatud ideaalarvu mõistest. Ideaale võib pidada arvude üldistuseks. Ideaali mõiste pärineb 19. sajandi algebralisest arvuteooriast (Ernst Eduard Kummer). Seda arendasid edasi Richard Dedekind ja Leopold Kronecker.

Definitsioon

Olgu $I$ ringi $\mathbf {R} =(R,+,\cdot )$ alamhulk. Hulka $I$ nimetatakse siis vasakpoolseks ideaaliks, kui:

1: $0\in I$,

2: kõigi $a,b\in I$ korral $a-b\in I$ (alamrühmakriteerium),

3L: iga $a\in I$ ja $r\in R$ korral $r\cdot a\in I$.

$I$ on parempoolne ideaal, kui on täidetud tingimused 1, 2 ja

3R: Iga $a\in I$ ja $r\in R$ korral $a\cdot r\in I$.

Hulka $I$ nimetatakse kahepoolseks ideaaliks ehk lihtsalt ideaaliks, kui $I$ on vasakpoolne ideaal ja parempoolne ideaal, st on täidetud tingimused 1, 2, 3L ja3R erfüllt.

Märkused

• Et ideaal $I$ sisaldab nullelementi $0$, siis ta ei ole tühi. Tegelikult piisab tingimuse 1 asemel juba nõudest, et $I$ ei ole tühi.
• Nõuded 1 und 2 koos on samaväärsed ütlusega, et $(I,+)$ on ringi R aditiivse rühma $(R,+)$ alamrühm.
• Ringi $\mathbf {R}$ iga ideaal $I$ moodustab ka ringi $\mathbf {R}$ alamringi $(I,+,\cdot )$, üldjuhul aga ilma ühikelemendita $1\in R$. Ühikelemendiga ringide kategoorias ei ole $(I,+,\cdot )$ siis alamring.
• Vasakpoolne ideaal või parempoolne ideaal $I$ in $\mathbf {R}$ ei ole midagi muud kui vasakpoolse $\mathbf {R}$-mooduli või parempoolse $\mathbf {R}$-moodulina $(R,+)$ käsitatud ringi $\mathbf {R}$ $\mathbf {R}$-alammoodul $(I,+)$.
• Kui ring on kommutatiivne, langevad kõik kolm mõistet kokku, mittekommutatiivses ringis võivad nad aga erineda.

Näited

• Paaris täisarvude hulk $2\mathbb {Z}$ on ideaal kõigi täisarvude ringis $\mathbb {Z}$.
• Paaritute täisarvude hulk $2\mathbb {Z} +1$ ei ole ideaal ringis $\mathbb {Z}$; see ei täida ühtki kolmest tingimusest.
• Kõikide polünoomiga $x^{2}+1$ jaguvate reaalarvuliste kordajatega polünoomide hulk moodustab ideaali polünoomide ringis $\mathbb {R} [X]$. Korpus $\mathbb {R} [X]/\left(x^{2}+1\right)$ on isomorfne kompleksarvude korpusega ja $(x^{2}+1)$ on isegi maksimaalne ideaal.
• Kõigi pidevate funktsioonide ringis $C(\mathbb {R} )$ reaalarvude hulgal $\mathbb {R}$ on ideaal, mille moodustavad pidevad funktsioonid $f$, mille korral $f(1)=0$. Ühe teise ideaali ringis $C(\mathbb {R} )$ moodustavad kompaktse kandjaga pidevad funktsioonid.
• Hurwitzi kvaternioonide mittekommutatiivne ring sisaldab nii vasakpoolseid, parempoolseid kui ka kahepoolseid ideaale. Kõik need on peaideaalid.
• Hulgad $\{0\}$ ja $R$ on alati ringi $R$ ideaalid. Ideaali $\{0\}=(0)$ nimetatakse nullideaaliks, ja kui ringil R on ühikelement $1$, nimetatakse ideaali $R=(1)$ ühikideaaliks. Kui $\{0\}$ ja $R$ on ringi $R$ ainsad ideaalid, nimetatakse seda ringi $R$ lihtsaks ringiks. Assotsiatiivne kommutatiivne ühikelemendiga lihtne ring, mis ei ole nullring, on korpus.

Ideaalide tekitamine

Kõik vasakpoolsed ideaalid, kõik parempoolsed ideaalid ja kõik kahepoolsed ideaalid moodustavad igaüks sulundisüsteemi. Vastavaid ideaalioperaatoreid tähistatakse sulgude $(\;),$ harva ka kolmnurksulgude $\langle \;\rangle$ abil.

Kui $A$ on ringi $R$ alamhulk, siis alamhulga $A$ tekitatud ideaaliks

$(A):=\bigcap _{J\ \ R\mathrm {-i\ ideaal} \atop \ A\subseteq J}J$

nimetatakse ringi vähimat (vastavalt vasakpoolset, parempoolset või kahepoolset) ideaali, mis sisaldab hulka $A$.

Kui ringil $R$ on ühikelement $1,$ siis

$(A)=\{r_{1}a_{1}s_{1}+\dotsb +r_{n}a_{n}s_{n}\mid r_{i},s_{i}\in R,a_{i}\in A\},$

ja kui $R$ on ka kommutatiivne, siis

$(A)=\{r_{1}a_{1}+\dotsb +r_{n}a_{n}\mid r_{i}\in R,a_{i}\in A\}.$

Ühe elemendi $a$ tekitatud ideaali

$(a):=\left(\{a\}\right)$

nimetatakse peaideaaliks.

Erilised ideaalid

Ideaali $I$ nimetatakse pärisideaaliks, kui ta ei ole kogu $R$. Ühikelemendiga ringide puhul ühikelemendiga $1$ on see nii parajasti siis, kui ideaal seda ühikelementi ei sisalda.

Pärisideaali $M$ nimetatakse maksimaalseks ideaaliks, kui ei ole suuremat pärisideaali, st iga ideaali $I$ korral

$M\subseteq I\subsetneq R\Rightarrow M=I$

Zorni lemma abil saab näidata, et ühikelemendiga ringi iga pärisideaal sisaldub mõnes maksimaalses ideaalis. Igal ühikelemendiga ringil peale nullringi leidub maksimaalne ideaal.

Pärisideaali $P$ nimetatakse lihtsaks ideaaliks, kui kõikide ideaalide $I,J$ korral

$I\cdot J\subseteq P\Rightarrow I\subseteq P$ või $J\subseteq P$

Ühikelemendiga ringis on iga maksimaalne ideaal lihtne.

Faktorringid ja tuumad

Ideaalid on ringide homomorfismide tuumad ja võimaldavad defineerida faktorringe.

Ringide homomorfism $f$ ringist $R$ ringi $S$ on kujutus $f\colon R\to S$, mille korral kõikide $a,b\in R$ korral

${\begin{array}{lll}f(0_{R})=0_{S},&f(a+b)=f(a)+f(b),&f(ab)=f(a)f(b)\end{array}}.$

Homomorfismi $f$ tuum on defineeritud kui

$\ker(f):=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}.$

Tuum on alati ringi $R$ kahepoolne ideaal.

Ringi $R$ kahepoolne ideaal $I$ võimaldab defineerida faktorringi $R/I$ (loe: "$R$ modulo $I$"; mitte segi ajada faktoriaalringiga), mille elementidel on kuju

$a+I:=\{a+i\mid i\in I\},$

kus $a$ on ringi $R$ mingi element. Kujutus

$p\colon R\to R/I,\,a\mapsto a+I$

on sürjektiivne ringide homomorfism, mille tuum on parajasti ideaal $I$. Seega on ringi $R$ ideaalid parajasti sellel ringil määratud homomorfismide tuumad.

Olgu ring $R$ kommutatiivne. Kui $P$ on lihtne ring, siis $R/P$ on integriteetkond. Kui $M$ on maksimaalne ideaal, siis $R/M$ on korpus.

$R$ faktorringide äärmuslikud näited tekivad ideaalide $(0)$ ja $R$ puhul. Faktorring $R/(0)$ on isomorfne ringiga $R$ ja $R/R$ on triviaalne ring $\{0\}.$

Ideaali norm

Arvukorpuse $K$ täiselementide ringis $A$ saab defineerida ideaali $I$ normi kui $N(I):=\mathrm {card} (A/I))$ (ja nullideaali korral $N((0)):=0$). See norm on alati lõplik arv ning on seotud korpuse laiendi normiga $N_{K/\mathbb {Q} },$ peaideaalide $(a)$ korral kehtib nimelt $|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|=N((a)).$ See norm on multiplikatiivne, st $N(I\cdot J))=N(I)N(J)$. Üldisemalt vaadeldakse neid norme ka arvukorpuste järkude ideaalide puhul.