Ringi ideaal

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Üldalgebras nimetatakse ringi ideaaliks (ehk ideaaliks selles ringis) selle ringi alamhulka, mis sisaldab nullelementi ning on kinnine oma elementide liitmise ja lahutamise suhtes ning on kinnine ringi mis tahes elemendiga (vasakult või paremalt) korrutamise suhtes.

Näiteks on kahe paarisarvu summa ja vahe jälle paarisarvud ning paarisarvu korrutis mis tahes täisarvuga on samuti paarisarv. Seega on paarisarvude hulk täisarvude ringi ideaal.

Nimetus "ideaal" on tuletatud ideaalarvu mõistest. Ideaale võib pidada arvude üldistuseks. Ideaali mõiste pärineb 19. sajandi algebralisest arvuteooriast (Ernst Eduard Kummer). Seda arendasid edasi Richard Dedekind ja Leopold Kronecker.


Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu ringi alamhulk. Hulka nimetatakse siis vasakpoolseks ideaaliks, kui:

1: ,
2: kõigi korral (alamrühmakriteerium),
3L: iga ja korral .

on parempoolne ideaal, kui on täidetud tingimused 1, 2 ja

3R: Iga ja korral .

Hulka nimetatakse kahepoolseks ideaaliks ehk lihtsalt ideaaliks, kui on vasakpoolne ideaal ja parempoolne ideaal, st on täidetud tingimused 1, 2, 3L ja3R erfüllt.

Märkused[muuda | muuda lähteteksti]

  • Et ideaal sisaldab nullelementi , siis ta ei ole tühi. Tegelikult piisab tingimuse 1 asemel juba nõudest, et ei ole tühi.
  • Nõuded 1 und 2 koos on samaväärsed ütlusega, et on ringi R aditiivse rühma alamrühm.
  • Ringi iga ideaal moodustab ka ringi alamringi , üldjuhul aga ilma ühikelemendita . Ühikelemendiga ringide kategoorias ei ole siis alamring.
  • Vasakpoolne ideaal või parempoolne ideaal in ei ole midagi muud kui vasakpoolse -mooduli või parempoolse -moodulina käsitatud ringi -alammoodul .
  • Kui ring on kommutatiivne, langevad kõik kolm mõistet kokku, mittekommutatiivses ringis võivad nad aga erineda.

Näited[muuda | muuda lähteteksti]

  • Paaris täisarvude hulk on ideaal kõigi täisarvude ringis .
  • Paaritute täisarvude hulk ei ole ideaal ringis ; see ei täida ühtki kolmest tingimusest.
  • Kõikide polünoomiga jaguvate reaalarvuliste kordajatega polünoomide hulk moodustab ideaali polünoomide ringis . Korpus on isomorfne kompleksarvude korpusega ja on isegi maksimaalne ideaal.
  • Kõigi pidevate funktsioonide ringis reaalarvude hulgal on ideaal, mille moodustavad pidevad funktsioonid , mille korral . Ühe teise ideaali ringis moodustavad kompaktse kandjaga pidevad funktsioonid.
  • Hurwitzi kvaternioonide mittekommutatiivne ring sisaldab nii vasakpoolseid, parempoolseid kui ka kahepoolseid ideaale. Kõik need on peaideaalid.
  • Hulgad ja on alati ringi ideaalid. Ideaali nimetatakse nullideaaliks, ja kui ringil R on ühikelement , nimetatakse ideaali ühikideaaliks. Kui ja on ringi ainsad ideaalid, nimetatakse seda ringi lihtsaks ringiks. Assotsiatiivne kommutatiivne ühikelemendiga lihtne ring, mis ei ole nullring, on korpus.

Ideaalide tekitamine[muuda | muuda lähteteksti]

Kõik vasakpoolsed ideaalid, kõik parempoolsed ideaalid ja kõik kahepoolsed ideaalid moodustavad igaüks sulundisüsteemi. Vastavaid ideaalioperaatoreid tähistatakse sulgude harva ka kolmnurksulgude abil.

Kui on ringi alamhulk, siis alamhulga tekitatud ideaaliks

nimetatakse ringi vähimat (vastavalt vasakpoolset, parempoolset või kahepoolset) ideaali, mis sisaldab hulka .

Kui ringil on ühikelement siis

ja kui on ka kommutatiivne, siis

Ühe elemendi tekitatud ideaali

nimetatakse peaideaaliks.

Erilised ideaalid[muuda | muuda lähteteksti]

Ideaali nimetatakse pärisideaaliks, kui ta ei ole kogu . Ühikelemendiga ringide puhul ühikelemendiga on see nii parajasti siis, kui ideaal seda ühikelementi ei sisalda.

Pärisideaali nimetatakse maksimaalseks ideaaliks, kui ei ole suuremat pärisideaali, st iga ideaali korral

Zorni lemma abil saab näidata, et ühikelemendiga ringi iga pärisideaal sisaldub mõnes maksimaalses ideaalis. Igal ühikelemendiga ringil peale nullringi leidub maksimaalne ideaal.

Pärisideaali nimetatakse lihtsaks ideaaliks, kui kõikide ideaalide korral

või

Ühikelemendiga ringis on iga maksimaalne ideaal lihtne.

Faktorringid ja tuumad[muuda | muuda lähteteksti]

Ideaalid on ringide homomorfismide tuumad ja võimaldavad defineerida faktorringe.

Ringide homomorfism ringist ringi on kujutus , mille korral kõikide korral

Homomorfismi tuum on defineeritud kui

Tuum on alati ringi kahepoolne ideaal.

Ringi kahepoolne ideaal võimaldab defineerida faktorringi (loe: " modulo "; mitte segi ajada faktoriaalringiga), mille elementidel on kuju

kus on ringi mingi element. Kujutus

on sürjektiivne ringide homomorfism, mille tuum on parajasti ideaal . Seega on ringi ideaalid parajasti sellel ringil määratud homomorfismide tuumad.

Olgu ring kommutatiivne. Kui on lihtne ring, siis on integriteetkond. Kui on maksimaalne ideaal, siis on korpus.

faktorringide äärmuslikud näited tekivad ideaalide ja puhul. Faktorring on isomorfne ringiga ja on triviaalne ring

Ideaali norm[muuda | muuda lähteteksti]

Arvukorpuse täiselementide ringis saab defineerida ideaali normi kui (ja nullideaali korral ). See norm on alati lõplik arv ning on seotud korpuse laiendi normiga peaideaalide korral kehtib nimelt See norm on multiplikatiivne, st . Üldisemalt vaadeldakse neid norme ka arvukorpuste järkude ideaalide puhul.