Isomorfism: erinevus redaktsioonide vahel

Eemaldatud sisu Lisatud sisu

Reasisene

Redaktsioon: 28. juuni 2020, kell 19:49

See artikkel räägib filosoofia ja matemaatika mõistest; mineraloogia mõiste kohta vaata artiklit Isomorfism (mineraloogia)

Isomorfism (kreeka: ἴσος isos – ühesugune, ja μορφή morphe – vorm) moodustavad koos homomorfismiga üldmõiste (sh ka filosoofilise kategooria), mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel ^[1]^[2].

Mõned spetsiifilise suunitlusega filosoofilised koolkonnad võivad mitte tunnistada nende mõistete kuulumist kategooriate kilda.

Selgitus

Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes ^[3]. Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab ühe süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).

Isomorfism on määratletav kui struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel. Isomorfsete objektide hulk moodustab 'isomorfismiklassi. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.

Kaks graafi on isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri, vaatamata nende erinevale "välimusele".

Graaf G	Graaf H	Isomorfism G ja H vahel
		ƒ(a) = 1 ƒ(b) = 6 ƒ(c) = 8 ƒ(d) = 3 ƒ(g) = 5 ƒ(h) = 2 ƒ(i) = 4 ƒ(j) = 7

Isomorfism matemaatikas

Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üksühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide struktuur. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis ^[4]. Isomorfism on pööratav morfism, millel on pöördmorfism, kus nende korrutis on ühikmorfism. Topoloogilist isomorfismi nimetatakse homoömorfismiks.

Isomorfismiprobleem on aktuaalne algebras, kategooria- ja graafiteoorias. Algebras on isomorfism kujutus objektide vahel, selline mis näitab suhet kahe omaduse või operatsiooni vahel. Kui kahe struktuuri vahel esineb isomorfism, siis öeldakse, et vastavad objektid on isomorfsed. Isomorfsed objektid on struktuurselt ekvivalentsed, kuid võivad mõnest teisest aspektist erinevad olla. Teisisõnu, isomorfism on bijektiivne kujutus f niisugune, et f ja selle pöördfunktsioon f⁻¹ on struktuuri säilitavad kujutused kahe algebralise struktuuri vahel, st need mõlemad on homomorfsed. Isomorfism on algebras samalaadselt defineeritud ka rühma, ringi ja teiste struktuuride kohta.

Isomorfism graafiteoorias tähendab graafide G ja H struktuuri säilitavat tippude bijektsiooni

f\colon V(G)\to V(H)\,\!

niisugust, et kui graafi G mingid kaks tippu u ja v on seotud, siis ja ainult siis on ƒ(u) ja ƒ(v) seotud garaafis H.

Selle näide on selgituses esitatud. Oluline on siin nende substitutsioonide väljatoomine:

${\begin{pmatrix}a&b&c&d&g&h&i&j\\1&6&8&3&5&2&4&7\end{pmatrix}}$

Kahe graafi isomorfsust tähistatakse $G\simeq H$ . Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui G ja H on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi G automorfismiks AutG.

Graafide isomorfism on ekvivalentsussuhe ning isomorfsed graafid kujutavad endast ühesugust struktuuri omavaid graafide isomorfismiklasse.

Isomorfismi tuvastamine kujutab endast vastava algoritmi konstrueerimist, mida nimatatakse isomorfismiprobleemiks.

Isomorfism eri valdkondades

Isomorfismi mõistet kasutatakse ka geoloogias, bioloogias, füüsikas jm. Korrektne on seda kasutada vaid seal, kus nende spetsiifiliste objektide struktuur ja bijektsioon on määratletav. See tähendab, kui nende geoloogiliste (bioloogilidte, füüsikaliste jt) süsteemide elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted) on määratletud. Tegelikkuses sellest alati kinni ei peeta.

Viited

↑ Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgart. ISBN 5250017940
↑ Новая философская энциклопедия. 2001, Москва. ISBN 5244009613 (00962-1)
↑ A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172–176
↑ Kaasik, Ülo. 2003. Matemaatikaleksikon. Tartu. ISBN 9985941772

Kirjandus

McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.

[1] Schmitd, Heirich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgart. ISBN 5250017940

[2] Новая философская энциклопедия. 2001, Москва. ISBN 5244009613 (00962-1)

[3] A. Cayley, 1857. On the theory of the analytical forms called trees. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172–176

[4] Kaasik, Ülo. 2003. Matemaatikaleksikon. Tartu. ISBN 9985941772

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ 1. rida: / 1. rida: @@
 {{See artikkel| räägib filosoofia ja matemaatika mõistest; mineraloogia mõiste kohta vaata artiklit [[Isomorfism (mineraloogia)]]}}
-'''Isomorfism''' ([[kreeka keel|kreeka]]: [[wikt:ἴσος|ἴσος]] ''isos'' – ühesugune, ja [[wikt:μορφή|μορφή]] ''morphe'' – vorm) moodustavad koos [[homomorfism]]iga üldmõiste (sh ka [[filosoofiline kategooria|filosoofilise kategooria]]), mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel <ref>Schmitd, Heirich, 1991. ''Philosophisches Wörerbuch''. Stuttgard. ISBN 5250017940</ref><ref>''Новая философская энциклопедия''. 2001, Москва. ISBN 5244009613 (00962-1)</ref>.
+'''Isomorfism''' ([[kreeka keel|kreeka]]: [[wikt:ἴσος|ἴσος]] ''isos'' – ühesugune, ja [[wikt:μορφή|μορφή]] ''morphe'' – vorm) moodustavad koos [[homomorfism]]iga üldmõiste (sh ka [[filosoofiline kategooria|filosoofilise kategooria]]), mis iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel <ref>Schmitd, Heirich, 1991. ''Philosophisches Wörerbuch''. Stuttgart. ISBN 5250017940</ref><ref>''Новая философская энциклопедия''. 2001, Москва. ISBN 5244009613 (00962-1)</ref>.
 Mõned spetsiifilise suunitlusega filosoofilised koolkonnad võivad mitte tunnistada nende mõistete kuulumist kategooriate kilda.
 ==Selgitus==
-Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes <ref>A. Cayley, 1857. ''On the theory of the analytical forms called trees''. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172–176</ref>.  Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab ühe süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).
+Teadaolevalt võttis isomorfismi termini kasutusele 1857. aastal A. Cayley oma keemiliste isomeeride alastes uuringutes <ref>A. Cayley, 1857. ''On the theory of the analytical forms called trees''. Phil. Mag. (4) 13 (1857), 172–176</ref>. Isomorfism tähendab vastavust, kus kaks süsteemi, vaadelduna lahus neid moodustavate elementide loomusest, vastab ühe süsteemi igale elemendile ainult üks teise süsteemi element ning ühe süsteemi igale seosele vastab ainult üks seos teises – ja vastupidi. Seega saab isomorfismist rääkida vaid niisuguste objektide puhul, millel on struktuur, st on määratletud selle elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted).
-Isomorfism on määratletav kui '''''struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel'''''.
+Isomorfism on määratletav kui ''struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel''.
-Isomorfsete objektide hulk moodustab '''''isomorfismiklassi'''''. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.
+Isomorfsete objektide hulk moodustab '''isomorfismiklassi''. Kõige piltlikum näide isomorfismist on graafide isomorfism.
-Kaks graafi on isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri, vaatamata nende erinavaele "välimusele".
+Kaks graafi on isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri, vaatamata nende erinevale "välimusele".
 {|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
@@ 37. rida: / 37. rida: @@
 ==Isomorfism matemaatikas==
-Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üks-ühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide [[struktuur]]. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis <ref>Kaasik, Ülo. 2003. ''Matemaatikaleksikon''. Tartu. ISBN 9985941772</ref>. Isomorfism on pööratav [[morfism]], millel on ''pöördmorfism'', kus nende korrutis on ''ühikmorfism''. [[topoloogia|Topoloogilist]] isomorfismi nimetatakse ''homoömorfismiks''.
+Matemaatikas defineeritakse isomorfismi kui süsteemi niisugust üksühest kujutust sama tüüpi süsteemiks, mille korral säilib süsteemide [[struktuur]]. Näiteks, kujund ja selle kujundi matemaatiline avaldis <ref>Kaasik, Ülo. 2003. ''Matemaatikaleksikon''. Tartu. ISBN 9985941772</ref>. Isomorfism on pööratav [[morfism]], millel on ''pöördmorfism'', kus nende korrutis on ''ühikmorfism''. [[topoloogia|Topoloogilist]] isomorfismi nimetatakse ''homoömorfismiks''.
 Isomorfismiprobleem on aktuaalne algebras, kategooria- ja [[graafiteooria]]s. [[Algebra]]s on isomorfism kujutus objektide vahel, selline mis näitab suhet kahe omaduse või operatsiooni vahel.&nbsp; Kui kahe struktuuri vahel esineb isomorfism, siis öeldakse, et vastavad objektid on ''isomorfsed''.&nbsp; Isomorfsed objektid on ''struktuurselt ekvivalentsed'', kuid võivad mõnest teisest aspektist erinevad olla. Teisisõnu, isomorfism on ''bijektiivne kujutus'' ''f'' niisugune, et ''f'' ja selle pöördfunktsioon ''f''<sup>&nbsp;&minus;1</sup> on struktuuri säilitavad kujutused kahe algebralise struktuuri vahel, st need mõlemad on [[homomorfism|homomorfsed]]. Isomorfism on algebras samalaadselt defineeritud ka [[Rühm (matemaatika)|rühma]], [[ring]]i ja teiste struktuuride kohta.
@@ 45. rida: / 45. rida: @@
 niisugust, et kui graafi ''G'' mingid kaks tippu ''u'' ja ''v'' on ''seotud'', siis ja ainult siis on ƒ(''u'') ja ƒ(''v'') ''seotud'' garaafis ''H''.
 Selle näide on selgituses esitatud. Oluline on siin nende [[substitutsioon]]ide väljatoomine:
 <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d & g & h & i & j \\ 1 & 6 & 8 & 3 & 5 & 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}</math>
-Kahe graafi isomorfsust tähistatakse <math>G\simeq H</math>. Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui ''G'' ja ''H'' on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi ''G'' [[automorfism]]iks '''''AutG'''''.
+Kahe graafi isomorfsust tähistatakse <math>G\simeq H</math>. Juhul kui bijektsioon on graafi kujutus iseendasse, st kui ''G'' ja ''H'' on üks ja sama graaf, siis seda bijektsiooni nimetatakse graafi ''G'' [[automorfism]]iks ''AutG''.
-Graafide isomorfism on [[ekvivalentsus]]suhe ning isomorfsed graafid kujutavad endast ühesugust struktuuri omavaid '''''graafide isomorfismiklasse'''''.
+Graafide isomorfism on [[ekvivalentsus]]suhe ning isomorfsed graafid kujutavad endast ühesugust struktuuri omavaid ''graafide isomorfismiklasse''.
-'''''Isomorfismi tuvastamine''''' kujutab endast vastava [[algoritm]]i konstrueerimist mida nimatatakse [[isomorfismiprobleem]]iks.
+''Isomorfismi tuvastamine'' kujutab endast vastava [[algoritm]]i konstrueerimist, mida nimatatakse [[isomorfismiprobleem]]iks.
-==Isomorfismist erinevates valdkondades==
+==Isomorfism eri valdkondades==
 Isomorfismi mõistet kasutatakse ka [[geoloogia]]s, [[bioloogia]]s, [[füüsika]]s jm. Korrektne on seda kasutada vaid seal, kus nende spetsiifiliste objektide struktuur ja bijektsioon on määratletav. See tähendab, kui nende geoloogiliste (bioloogilidte, füüsikaliste jt) süsteemide elemendid (komponendid, osised) ja nendevahelised seosed (suhted) on määratletud. Tegelikkuses sellest alati kinni ei peeta.
-==Kirjandus==
-*McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.
 ==Viited==
 {{viited}}
+==Kirjandus==
+* McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.
 [[Kategooria:Filosoofia]]