Aritmeetiline jada

Aritmeetiline jada ehk aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe on konstantne. Seda konstanti nimetatakse aritmeetilise jada vaheks.

Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul

$a_{n}=a_{0}+nd,\,$

kus $a_{0}$ on aritmeetilise jada esimene element ehk algliige ja d on aritmeetilise jada vahe.

Kõik aritmeetilised jadad, kus d ≠ 0, on tõkestamata jadad. Kui d > 0, siis n → ∞ korral $a_{n}$ → ∞. Kui d < 0, siis n → ∞ korral $a_{n}$ → –∞.

Näited

Jada (7, 12, 17, 22, ..., 5n + 7, ...) on aritmeetiline jada algliikmega $a_{0}$ =7 ja vahega d = 5.

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul

$S_{n}=a_{0}+a_{1}+...+a_{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}(a_{0}+dk)=n(a_{0}+d{\frac {n-1}{2}})$.

Tõestus

Tõestuseks võib konstrueerida järgmise summa

$2S_{n}=(a_{0}+a_{n-1})+(a_{1}+a_{n-2})+...+(a_{n-1}+a_{0}).\,$

Asendades viimasesse avaldisse pealiikme valemi saame summa

$2S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}(a_{0}+dk+a_{0}+d(n-1-k))=\sum _{k=0}^{n-1}(2a_{0}+d(n-1))=n(2a_{0}+d(n-1)).$

Võrduse poolte jagamine kahega annabki aritmeetilise jada n esimese liikme summa valemi.

Vaata ka

• Geomeetriline jada