Blokkmaatriks

Allikas: Vikipeedia

Maatriksite teoorias (matemaatika harus) nimetatakse blokkmaatriksiks maatriksit, mille elementideks on omakorda maatriksid. Viimaseid nimetatakse blokkideks. Iga maatriksit saab käsitleda blokkmaatriksina, mis koosneb ühest blokist.

Näide[muuda | redigeeri lähteteksti]

Maatriksi

A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4\end{pmatrix}

saab jaotada neljaks 2×2-blokiks

A_{11} = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \end{pmatrix},   A_{12} = \begin{pmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\end{pmatrix},  A_{21} = \begin{pmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3 \end{pmatrix},   A_{22} = \begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & 4\end{pmatrix}.

Maatriksi A saab nüüd blokkmaatriksina ümber kirjutada:

A = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}.

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu iga i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l jaoks antud mi × nj-maatriks A_{ij} (m_i ja n_j on naturaalarvud, mis sõltuvad vastavalt i-st ja j-st). Blokkmaatriksiks nimetatakse maatriksit A = (A_{ij}); maatrikseid A_{ij} nimetatakse maatriksi A blokkideks.

Blokkmaatriksite korrutamine[muuda | redigeeri lähteteksti]

Blokkmaatriksite korrutamist saab teostada blokkide kaudu. Olgu antud m × k-maatriks A, mille ridades on q blokki ja veergudes p blokki


A = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1s}\\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2s}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
A_{q1} & A_{q2} & \cdots & A_{qs}\end{pmatrix},

ning k × n-maatriks B, mille read on jaotatud q ja veerud p blokiks


B = \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r}\\
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr}\end{pmatrix},

siis maatrikskorrutise


C=AB \,

saab leida blokkhaaval, kusjuures C on m × n-maatriks, mille ridades on q blokki ja veergudes p blokki. Maatriksi C blokid on


C_{\alpha \beta} = \sum^s_{\gamma=1}A_{\alpha \gamma}B_{\gamma \beta}.

Blokk-diagonaalsed maatriksid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Blokk-diagonaalne maatriks ehk kast-diagonaalmaatriks[1] on ruutmaatriks, mille peadiagonaali elementideks on ruutmaatriksid (blokid) nii, et kõik ülejäänud elemendid on nullid. Blokk-diagonaalse maatriksi üldine kuju on

 
A = \begin{pmatrix} 
A_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & A_{2} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & A_{n} 
\end{pmatrix}
,

kus iga A_{i} on ruutmaatriks; teisisõnu on see maatriksite A_{1}, ... , A_{n} otsesumma, mida võib tähistada, kui A_{1}\oplus A_{2} \oplus ... \oplus A_{n} või sarnaselt diagonaalsete maatriksitega \operatorname{diag}(A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}). Iga ruutmaatriksit võib käsitleda kui ühest blokist koosnevat diagonaalset blokkmaatriksit.

Blokk-diagonaalse maatriksi deteminandi ja jälje jaoks kehtib

 \operatorname{det} A = \operatorname{det} A_1 \cdots \operatorname{det} A_n,
 \operatorname{tr} A = \operatorname{tr} A_1 +\cdots +\operatorname{tr} A_n .

Blokk-kolmnurkmaatriksid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Blokk-kolmnurkmaatriksid on kolmnurkmaatriksid, mille elementideks on blokid (ehk maatriksid). Analoogselt kolmnurkmaatriksitega saab rääkida ülemistest ja alumistest blokk-kolmnurkmaatriksitest.

Otsesumma[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis otsesumma

Iga maatriksi A (m × n-järku) ja B (p × q-järku), saab konstrueerida maatriksite A ja B otsesumma


  A \oplus B =
\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B \\
\end{pmatrix}

=
  \begin{pmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq} 
  \end{pmatrix}.

Näiteks


  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{pmatrix}
\oplus
  \begin{pmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}.

Paneme tähele, et maatriksite vektorruumide otsesumma on väljendatav maatriksite otsesummana.

Tensorkorrutis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis tensorkorrutis


Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Ü. Kaasik Matemaatikaleksikon (Valgus 1982)