Regulaarne funktsioon

Ühe muutuja regulaarne funktsioon ehk holomorfne funktsioon on kompleksmuutuja funktsioon $f: U \rightarrow \mathbb{C}$. mille määramispiirkond on lahtine hulk U ning mis on diferentseeruv hulga U igas punktis.

Kuigi see definitsioon on analoogiline diferentseeruva reaalmuutuja funktsiooni definitsiooniga, osutub kompleksmuutuja funktsiooniteoorias, et erinevalt reaalmuutuja funktsioonide diferentseeruvusest on tegu väga tugeva omadusega. Näiteks on regulaarne funktsioon alati lõpmatu arv kordi diferentseeruv funktsioon ning ta on igas punktis arendatav astmeritta (analüütiline funktsioon).

Et regulaarsed funktsioonid langevad kokku analüütiliste kompleksmuutuja funktsioonidega, siis nimetatakse neid kompleksmuutuja funktsiooniteoorias sageli analüütilisteks funktsioonideks.

Funktsiooni regulaarsus on defineeritav ka mitme muutuja funktsioonide korral.

Ühe muutuja regulaarsed funktsioonid

Definitsioonid

Olgu $U \subset \mathbb{C}$ komplekstasandi lahtine alamhulk ning $z_0\in U$ punkt selles alamhulgas. Funktsiooni $f:U \rightarrow \mathbb{C}$ nimetatakse kompleksselt diferentseeruvaks funktsiooniks punktis $z_0$, kui eksisteerib piirväärtus

$\lim_{{h \rightarrow 0}\atop{h+z_0 \in U}}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$.

Sel juhul tähistatakse seda piirväärtust $\ f'(z_0)$.

Funktsiooni $f$ nimetatakse regulaarseks punktis $z_0$, kui eksisteerib punkti $z_0$ ümbrus, milles $f$ on kompleksselt diferentseeruv funktsioon.

Kui $f$ on regulaarne kogu komplekstasandil $\mathbb{C}$, siis nimetatakse funktsiooni $f$ täisfunktsiooniks.

Selgitused

Erinevus kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vahel

Mitte iga diferentseeruv funktsioon $f: U \rightarrow \mathbb{R}^2$, kus $U \subset \mathbb{R}^2$, ei osutu regulaarseks, kui käsitada teda funktsioonina komplekstasandil. Reaalarvude puhul nimetatakse funktsiooni diferentseeruvaks, kui eksisteerib niisugune $\mathbb{R}$-lineaarne kujutus $A$, et kehtib võrrand

$f(x+h) = f(x) + A(h) + r(h)$,

kus $r$ on funktsioon, mille korral

$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{r(h)}{|h|} = 0$.

Regulaarsete funktsioonide korral peab $A$ olema $\mathbb{C}$-lineaarne, mis tähendab tugevat kitsendust.

Kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vaheline seos

Funktsioon $f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right)$ on kompleksselt diferentseeruv parajasti siis, kui $u, v$ on pidevalt osaliselt diferentseeruvad ning on rahuldatud Cauchy-Riemanni võrrandid

$\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}$ ja $\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}$.

Näited

Järgmised funktsioonid on regulaarsed kogu komplekstasandil $\mathbb{C}$:

• iga polünomiaalfunktsioon $\textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j$ koefitsientidega $a_j \in \mathbb{C}$
• eksponentsiaalfunktsioon $\exp$
• trigonomeetrilised funktsioonid $\sin$ ja $\cos$
• hüperboolsed funktsioonid $\sinh$ ja $\cosh$

Järgmised funktsioonid ei ole mitte üheski punktis $z\in\mathbb{C}$ kompleksmuutuja diferentseeruvad funktsioonid ega ole seega ka mitte kuskil regulaarsed:

• moodulifunktsioon $z\mapsto |z|$
• projektsioonid reaalosale $z\mapsto\mathrm{Re}(z)$ ja imaginaarosale $z\mapsto\mathrm{Im}(z)$
• kaaskompleksarvu võtmine $z\mapsto\overline{z}$

Omadused

Kui $f, g: U \rightarrow \mathbb{C}$ on kompleksselt diferentseeruvad punktis $z \in U$, siis on seda ka $f+g$ ja $f-g$. Kui $g(z)\neq 0$, siis on ka $\frac{f}{g}$ punktis $z\in U$ kompleksselt diferentseeruv.

Peale selle, kehtivad summa tuletise reegel, korrutise tuletise reegel, jagatise tuletise reegel ja liitfunktsiooni diferentseerimise reegel.

Järgnevad regulaarsete funktsioonide omadused, millel puudub vaste reaalmuutuja funktsioonide korral.

Järgnevas olgu $U \subset \mathbb C$ piirkond ja $f: U \rightarrow \mathbb C$ regulaarne.

Cauchy integraalteoreem

Kui $U \subset \mathbb{C}$ on ühelisidus ja $\gamma$ on tsükkel alamhulgas $U$, siis kehtib Cauchy integraalteoreem

$\int_\gamma f(z)\mathrm dz=0\!\,.$

Vaata ka

• Cauchy integraalvalem