Täisfunktsioon

Allikas: Vikipeedia

Täisfunktsioon on kompleksmuutuja funktsioon, mis on holomorfne kogu komplekstasandil. Täisfunktsiooni mõiste on üldistatav ka mitme kompleksmuutuja funktsioonidele.

Täisfunktsiooni Taylori rida koondub kogu komplekstasandil.

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Täisfunktsioonil võib olla iseärane punkt (sealhulgas oluliselt iseärane punkt) lõpmatuses.

Nagu järeldub Liouville'i teoreemist, peab funktsioon, millel puuduvad iseärased punktid kogu laiendatud komplekstasandil, olema konstantne (seda omadust saab kasutada algebra põhiteoreemi elegantseks tõestamiseks).

Täisfunktsioon, millel on lõpmatuses poolus, peab olema polünomiaalfunktsioon. Seega on kõigil täisfunktsioonidel, mis ei ole polünomiaalsed (sealhulgas konstantsed), lõpmatuses oluliselt iseärane punkt. Sellised funktsioonid on transtsendentsed täisfunktsioonid.

Picardi väike teoreem tugevdab Liouville'i teoreemi tunduvalr: mittekonstantne täisfunktsioon võtab kõik kompleksarvulised väärtused peale võib-olla ühe. Näiteks on eksponentsiaalfunktsioon, mis võtab väärtusteks kõik kompleksarvud peale nulli.

Lahutus lõpmatuks korrutiseks[muuda | redigeeri lähteteksti]

Nii nagu meromorfseid funktsioone võib vaadelda ratsionaalsete murdfunktsioonide üldistusena, võib täisfunktsioone vaadelda polünomiaalfunktsioonide üldistusena. Kui meromorfsetele funktsioonidele võib üldistada lahutuse lihtsaimateks murdudeks (Mittag-Leffleri teoreem meromorfse funktsiooni lahutusest), siis täisfunktsioonidele üldistub lahutus teguriteks — Weierstrassi teoreem täisfunktsioonidest.

Näited ja mittenäited[muuda | redigeeri lähteteksti]

Täisfunktsiooni tüüpilised näited on polünomiaalfunktsioon ja eksponentsiaalfunktsioon, samuti nende funktsioonide summad, korrutised ja superpositsioonid.

John Littlewood nimetab täisfunktsiooni tüüpilise näitena Weierstrassi sigmafunktsiooni.

Logaritmfunktsioon ja ruutjuur ei ole täisfunktsioonid.

Mitme kompleksmuutuja täisfunktsioonid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Täisfunktsiooni võib vaadelda ruumis \C^n.

Olgu k multiindeks, z\in\C^n. Rea

\sum_{|k|=0}^\infty a_kz^k(*)

koonduvuse mõiste sõltub liikmete numeratsiooni viisist, seetõttu peetakse koonduvusest rääkides silmas absoluutset koonduvust: \sum_{|k|=0}^\infty |a_k||z^k|<\infty

Seega, kui rida (*) koondub ruumis \C^n, siis selle reaga esitatav funktsioon on täisfunktsioon.

Täisfunktsioonide ruum[muuda | redigeeri lähteteksti]

Täisfunktsioonid moodustavad vektorruumi.

Täisfunktsioonide ruumi tähistatakse E (sõnast entire), C^n puhul E_n. Uuemas kirjanduses kasutatakse tähist H[viide?].