Lineaarkujutus

Allikas: Vikipeedia

Matemaatikas nimetatakse lineaarkujutuseks ehk lineaarseks operaatoriks vektorruumide homomorfismi. Vektorruumide endomorfismi nimetatakse vektorruumi lineaarteisenduseks.

Definitsioon[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu K korpus ja V ning W vektorruumid üle K. Kujutust f, mis kujutab ruumi V elemendi mõnele ruumi W elemendile, nimetatakse (vektorruumide) homomorfismiks ehk lineaarkujutuseks, kui

  • f(\mathbf{v} + \mathbf{u}) = f(\mathbf{v}) + f(\mathbf{u}),
  • f(c\mathbf{v}) = cf(\mathbf{v}),

kus cK on skalaar.

Kui ruumid V ja W ühtivad, siis nimetatakse teisendust f lineaarteisenduseks. [1]

Tähistus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lineaarkujutuse jaoks kasutatakse mitmeid erinevaid tähistusi. Seda võib tähistada nagu väikese ladina või kreeka tähega, näiteks f, nagu tähistatakse funktsioone. Levinud on ka tähistus suure ladina tähega A, kusjuures lineaarkujutuse väärtust punktis v, tähistatkse kui Av (mitte A(v)).

Kõikide lineaarkujutuste hulka vektorruumist V (üle K) vektorruumi W (üle K) tähistatakse HomK(V,W). Vektorruumi V (üle K) lineaarteisenduste hulka tähistatakse EndK(V).

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Lineaarteisenduste A ja B vahel saab defineerida liitmise

(A + B)\mathbf{v} = A\mathbf{v} + B\mathbf{v}

ja korrutamise

A(B\mathbf{v}) = (AB)\mathbf{v}.

Saab näidata, et EndK(V) on nende tehete suhtes assotsiatiivne ühikelemendiga ring.

Näited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  • Näiteks m×n-järku maatriks kujutab endast lineaarset operaatorit m-mõõtmelisest vektorrruumist n-mõõtmelisse vektorruumi.

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. M. Kilp, Algebra I (1998), lk 70