Cauchy integraalvalem

Allikas: Vikipeedia

Cauchy integraalvalem on oluline valem kompleksmuutuja funktsioonide teoorias, mis väljendab asjaolu, et regulaarsete funktsioonide väärtused piirkonnas on määratud selle funktsiooni väärtustega piirkonna rajal. Täpsemalt, kui f on regulaarne funktsioon ühelisidusas tõkestatud piirkonnas D ja pidev kuni selle piirkonna rajani \gamma, siis iga piirkonda D kuuluva kompleksarvu z korral kehtib

f(z) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma {f(\xi) \over \xi-z}\, d\xi ,

kus integreerimine toimub vastupäeva. [1]

Et ülalantu on Cauchy tüüpi integraal, siis on f piirkonnas D lõpmatult diferentseeruv[2], kusjuures selle n-ndat järku tuletis on antud integraalina

f^{(n)}(z) = {n! \over 2\pi i} \oint_\gamma {f(\xi) \over (\xi-z)^{n+1}}\, d\xi.

Viimase asjaolu tõttu iga piirkonnas D regulaarne funktsioon ühtlasi analüütiline funktsioon.

Cauchy integraalvalem on oma nime saanud prantsuse matemaatiku Augustin Louis Cauchy järgi.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Viited[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Jürimäe, E. (1983). Kompleksmuutuja funktsioonide teooria lühikursus, Tallinn: Valgus, lk 68.
  2. Jürimäe, E. (1983). Kompleksmuutuja funktsioonide teooria lühikursus, Tallinn: Valgus, lk 70.