Päratu integraal

Olgu funktsioon $\ f(x)$ määratud ja pidev piirkonnas $[a,\infty),$ siis funktsiooni päratuks integraaliks piirkonnas $[a,\infty)$ nimetatakse piirväärtust

$\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)dx .$

Kui piirväärtus on olemas, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Kui seda piirväärtust ei eksisteeri või kui ta on lõpmatu, siis öeldakse, et päratu integraal hajub.

Näide

$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{b \to +\infty} \int_0^b \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{b \to +\infty}\arctan x\Big|_0^b = \lim_{b \to +\infty} (\arctan b - \arctan 0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} .$

Seega antud päratu integraal koondub ja selle väärtus on π/2.

Päratu integraal teiste lõpmatute vahemike korral

Analoogselt defineeritakse päratu integraal piirkonnas $(-\infty ,b]:$

$\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)dx .$

Vahemikus $(-\infty,+\infty)$ defineeritakse päratu integraal järgmiselt (kasutades aditiivsust):

$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = \int_{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^\infty f(x)dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^c f(x)dx + \lim_{b \to +\infty} \int_c^b f(x)dx ,$

kus $\ c$ on suvaliselt valitud arv.

Päratu integraali geomeetriline tähendus

Kui piirkonnas $[a,\infty)$ on funktsiooni $\ f(x)$ graafik x-telje kohal ($f(x)>0$), siis on päratu integraali geomeetriline tähendus analoogiline määratud integraali geomeetrilise tähendusega. Päratu integraal

$\int_a^\infty f(x)dx$

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg, vertikaalne sirge x=a ja funktsiooni $\ f(x)$ graafik.

Funktsiooni $f(x)=1/(1+x^2)$ graafik.

Näide

$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}dx = \int_{-\infty}^0 \frac{dx}{1+x^2} + \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}$

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg ja funktsiooni $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ graafik. Eespool selgus, et

$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2} .$

Seega

$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}dx = \int_{-\infty}^0 \frac{dx}{1+x^2} + \frac{\pi}{2} = \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 \frac{dx}{1+x^2} + \frac{\pi}{2}=\lim_{a \to -\infty} \arctan x\Big|_a^0 +\frac{\pi}{2} = 0 -(-\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{2}=\pi.$

Vaata ka

• Määratud integraal
• Määramata integraal
• Piirväärtus