Päratu integraal

Allikas: Vikipeedia

Olgu funktsioon \ f(x) määratud ja pidev piirkonnas [a,\infty), siis funktsiooni päratuks integraaliks piirkonnas [a,\infty) nimetatakse piirväärtust

\int_a^\infty f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)dx .

Kui piirväärtus on olemas, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Kui seda piirväärtust ei eksisteeri või kui ta on lõpmatu, siis öeldakse, et päratu integraal hajub.

Näide[muuda | redigeeri lähteteksti]

\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{b \to +\infty} \int_0^b \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{b \to +\infty}\arctan x\Big|_0^b = \lim_{b \to +\infty} (\arctan b - \arctan 0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} .

Seega antud päratu integraal koondub ja selle väärtus on π/2.

Päratu integraal teiste lõpmatute vahemike korral[muuda | redigeeri lähteteksti]

Analoogselt defineeritakse päratu integraal piirkonnas (-\infty ,b]:

\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)dx .

Vahemikus (-\infty,+\infty) defineeritakse päratu integraal järgmiselt (kasutades aditiivsust):

\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = \int_{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^\infty f(x)dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^c f(x)dx + \lim_{b \to +\infty} \int_c^b f(x)dx ,

kus \ c on suvaliselt valitud arv.

Päratu integraali geomeetriline tähendus[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kui piirkonnas [a,\infty) on funktsiooni \ f(x) graafik x-telje kohal (f(x)>0), siis on päratu integraali geomeetriline tähendus analoogiline määratud integraali geomeetrilise tähendusega. Päratu integraal

\int_a^\infty f(x)dx

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg, vertikaalne sirge x=a ja funktsiooni \ f(x) graafik.

Funktsiooni f(x)=1/(1+x^2) graafik.

Näide[muuda | redigeeri lähteteksti]

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}dx = \int_{-\infty}^0 \frac{dx}{1+x^2} + \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}

on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg ja funktsiooni f(x)=\frac{1}{1+x^2} graafik. Eespool selgus, et

\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2} .

Seega

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}dx = \int_{-\infty}^0 \frac{dx}{1+x^2} + \frac{\pi}{2} = \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 \frac{dx}{1+x^2} + \frac{\pi}{2}=\lim_{a \to -\infty} \arctan x\Big|_a^0 +\frac{\pi}{2} = 0 -(-\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{2}=\pi.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]