Sirge

Allikas: Vikipeedia

Sirge ehk sirgjoon on ilma läbimõõduta, mõlemas suunas lõpmata pikk, kõverusteta joon ehk ühemõõtmeline ruum, mis võib sisalduda mitmemõõtmelises ruumis[1].

Sirge tasandil[muuda | redigeeri lähteteksti]

Üldvõrrand[muuda | redigeeri lähteteksti]

Sirge üldvõrrand tasandil on (Descartes'i kordinaadistikus) ristkoordinaadistikus lineaarvõrrand Ax + By + C = 0, kus A, B ja C on konstandid, ning A ja B ei võrdu samaaegselt nulliga.

Näide[muuda | redigeeri lähteteksti]

Sirge võrrand tasandil:

4x - 1y - 1 = 0\text{ ehk }y = 4x - 1

Parameetriline kuju[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kasutatakse üldvõrrandi Ax + By + C = 0 parameetrilist kuju L = \left\{
\begin{array}{c}
 x = x_0 + ta \\
 y = y_0 + tb
\end{array}
\right. \text{, kus }t \in \R[2][3]

Näide[muuda | redigeeri lähteteksti]

\R^{2}, kus sirge on määratud 2 vektori kaudu \alpha =\left(
\begin{array}{c}
 2 \\
 4
\end{array}
\right)\text{ ja }\beta =\left(
\begin{array}{c}
 3 \\
 3
\end{array}
\right) :

L = {a + t(\overrightarrow{\beta-\alpha}),\text{ kus }t \in \R}= {\left(
\begin{array}{c}
 2 + t\\
 4 - t
\end{array}
\right),\text{ kus }t \in \R}

või

L = {b + t(\overrightarrow{\beta-\alpha}),\text{ kus }t \in \R}= {\left(
\begin{array}{c}
 3 + t\\
 3 - t
\end{array}
\right),\text{ kus }t \in \R}

Lisaks eelnimetatule on võimalik parameetrilist kuju tähistada, kui parameetrilisi võrrandeid

L = \left\{
\begin{array}{c}
 x_1 = a_1 + ts_1 \\
 x_2 = a_2 + ts_2
\end{array}
\right. \text{, kus }t \in \R = \left\{
\begin{array}{c}
 x_1 = 3 + t \\
 x_2 = 3 - t
\end{array}
\right. \text{, kus }t \in \R

ja (Descartes kujul) ehk kanoonilisel kujul

\frac{ x_1- a_1}{s_1}=\frac{ x_2- a_2}{s_2} \to \frac{x_1- 2}{1}=\frac{ x_2- 4}{-1} \to x_1=-x_2+ 6


Joonised[muuda | redigeeri lähteteksti]

Omadused[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu antud sirged u ja v, ning nendele vastavad sihivektorid \vec s_1 ja \vec s_2.

Ristuvad sirged[muuda | redigeeri lähteteksti]

Sirged on risti parajasti siis, kui nende sihivektoriteskalaarkorrutis on 0:

\vec s_1 \cdot \vec s_2=0

Paralleelsed sirged[muuda | redigeeri lähteteksti]

Sirged on paralleelsed parajasti siis, kui nende sihivektorite skalaarkorrutise moodul on 1:

|\vec s_1 \cdot \vec s_2| = 1

2 punkti saab läbida vaid 1 sirge[muuda | redigeeri lähteteksti]

Eukleidese geomeetrias läbib kahte eri punkti täpselt üks sirge.

Määratud[muuda | redigeeri lähteteksti]

tõusu ja algorinaadiga[muuda | redigeeri lähteteksti]

Tõusu (k) ja algordinaadiga (a) määratud sirge võrrand tasandil:

y = kx + a.

kahe punktiga[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kahe punktiga määratud sirge võrrand tasandil:

\frac {y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac {x - x_1}{x_2 - x_1}.

punkti ja sihivektoriga[muuda | redigeeri lähteteksti]

Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand tasandil:

\frac {y - y_1}{s_y}=\frac {x - x_1}{s_x}.

punkti ja tõusuga[muuda | redigeeri lähteteksti]

Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand tasandil:

y - y_1 = k( x - x_1 ).

kahe tasandi lõikena[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kahe tasandi \Pi_1 : \bold {n}_1 \cdot \bold r = h_1 ja \Pi_2 : \bold {n}_2 \cdot \bold r = h_2 lõike sirge, kus \bold {n}_i on normaal vektor, on antud

 \bold {r} = (c_1 \bold {n}_1 + c_2 \bold {n}_2) + \lambda (\bold {n}_1 \times \bold {n}_2)

kus

 c_1 = \frac{ h_1 - h_2(\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2) }{ 1 - (\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2)^2 }
 c_2 = \frac{ h_2 - h_1(\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2) }{ 1 - (\bold {n}_1 \cdot \bold {n}_2)^2 } .

Rakendatavad funtsioonid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Sirge kaugus punktist ℝ3 ruumis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu antud sirge u ja punkt D(x_1;y_1;z_1). Olgu sirge u sihivektoriks \overrightarrow{s}=(s_z;s_y;s_z), siis leiame punkti X = (x ; y ; z) sirgel, mis asub sirgel u ja mille kaugus on vähim punkti D(x_1;y_1;z_1). Selleks lahendame võrrandid :

\frac{x-x_1}{s_x}=\frac{y-y_1}{s_y}=\frac{z-z_1}{s_z}

Siis leiame vektori \overrightarrow{DX} ja selle pikkuse r=\left|\left|\overrightarrow{DX}\right|\right|, mis on punkti kaugus sirgest:

r = \sqrt{\left(x-x_1\right){}^2+\left(y- y_1\right){}^2+\left(z-z_1\right){}^2}

Sirgete kaugus ruumis[muuda | redigeeri lähteteksti]

Olgu antud sirged u ja v. Sellest leiame vastavad sihivektorid \overrightarrow{s_1} ning \overrightarrow{s_2} ja suvalised punktid mõlemal sirgel vastavalt A ja B.

Paralleelsed sirged[muuda | redigeeri lähteteksti]

\varrho =\frac{\left|\left|\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{\text{AB}}\right|\right|}{\left|\left|\overrightarrow{s_1}\right|\right|}

Kiivsirged[muuda | redigeeri lähteteksti]

\varrho(u, v) =\frac{\left|(\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{s_2})\cdot\overrightarrow{\text{AB}}\right|}{\left|\left|\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{s_2}\right|\right|}

Puutuja[muuda | redigeeri lähteteksti]

y - y_1 = \frac{}{}(f'(x))( x - x_1 )

Normaal[muuda | redigeeri lähteteksti]

y - y_1 = \left(\frac{-1}{f'(x)}\right)( x - x_1 )



Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Kirjanduse märgendid[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. "Geometry > Line Geometry > Lines > Definition" (2010). Vaadatud 27.12.2010.
  2. "Geometry > Line Geometry > Lines > Parametric form" (2010). Vaadatud 27.12.2010.
  3. "Linear Algebra: Parametric Representations of Lines" (2010). Vaadatud 27.12.2010.