Piirväärtus

See artikkel räägib funktsiooni piirväärtusest; jada piirväärtuse kohta vaata artiklit Jada piirväärtus

---

Funktsiooni $f(x)$ piirväärtuseks kohal $a$ nimetatakse arvu $A$, kui suvalise arvu ε > 0 korral leidub selline arv δ > 0, et iga $x\in X$ korral kehtib võrratus

$\ |f(x)-A| < \varepsilon \quad$ alati kui $\quad |x-a| < \delta ,$

kus

• δ on punkti $a$ ümbrus ehk suvaline vahemik, millesse punkt $a$ kuulub ( $x$ kuulub $a$ ümbrusse raadiusega δ);
• ε on funktsiooni $f(x)$ vastava väärtuse ümbrus ( $f(x)$ kuulub $A$ ümbrusse raadiusega ε).

Seda, et arv $A$ on funktsiooni piirväärtus protsessis $x\to a$, märgitakse nii:

$\lim_{x\to a} f(x) = A .$

Definitsiooni järgi on arv $A$ funktsiooni $f$ piirväärtus kohal $a$ parajasti siis, kui andes ette kuitahes väikese positiivse arvu ε, saab alati valida punkti $a$ ümbruse ($a$ - δ, $a$ + δ) nii, et funktsiooni $f$ väärtused rahuldavad tingimust

$f(x) \in (A-\varepsilon , A+\varepsilon)\quad \forall x\in (a-\delta , a+\delta)\backslash \{a\}.$

Funktsiooni piirväärtus ei näita funktsiooni väärtust vaadeldaval kohal, ta iseloomustab vaid funktsiooni väärtusi vaadeldava koha ümbruses.

Näited

$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2} (x+2) = 4 .$

$\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^3-1}{3x^3+x} = \lim_{x\to -\infty}\frac{x^3(5-\frac{1}{x^3})}{x^3(3+\frac{1}{x^2})} = \frac{5}{3} .$

Vaata ka

• Funktsioon
• Tuletis
• Jada piirväärtus