Eralduvusaksioomid

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search

Et topoloogiline ruum on väga üldine mõiste, piirdutakse topoloogias ja topoloogiaga seotud matemaatikaharudes sageli teatud kitsendusi rahuldavate topoloogiliste ruumide vaatlemisega. Eralduvusaksioomid on ühed niisugused kitsendused.

Eralduvusaksioomid on aksioomid selles mõttes, et kui neid lisada topoloogilise ruumi definitsioonis topoloogilise ruumi aksioomidele, saaksime uue, kitsama topoloogilise ruumi mõiste. Tänapäevase lähenemise kohaselt kasutatakse väljendit "topoloogiline ruum" kõikjal vaid ühes tähenduses (nii nagu ta on määratletud artiklis Topoloogiline ruum) ning kõneldakse erinevat liiki topoloogilistest ruumidest. Nimetus eralduvusaksioom on aga vanadest aegadest alles jäänud. Paljusid eralduvusaksioome tähistatakse T-tähega, mis tuleb saksakeelsest sõnast Trennung ("eraldamine").

Eralduvusaksioomides ettetulevate mõistete täpne tähendus on aja jooksul muutunud. Seepärast tuleb vanemat kirjandust lugedes tähele panna, kuidas antud autor on need mõisted määratlenud.

Definitsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

Topoloogilist ruumi nimetatakse

  • T0-ruumiks, kui mistahes kaks punkti on topoloogiliselt eristatavad, s. t. punktil leidub ümbrus nii, et , või leidub punktil ümbrus nii, et ;
  • T1-ruumiks, kui mistahes kahe punkti korral leiduvad punkti ümbrus ja punkti ümbrus nii, et ning ;
  • T2-ruumiks ehk Hausdorffi ruumiks ehk eralduvaks ruumiks, kui mistahes kahe punkti korral leiduvad punkti ümbrus ja punkti ümbrus nii, et ;
  • regulaarseks, kui mistahes -kinnise alamhulga ning mistahes punkti korral leiduvad hulga ümbrus ja punkti ümbrus nii, et ;
  • normaalseks, kui mistahes kahe lõikumatu -kinnise alamhulga korral leiduvad hulga ümbrus ja hulga ümbrus nii, et ;
  • täielikult regulaarseks, kui mistahes -kinnise alamhulga ning mistahes punkti korral leidub pidev kujutus nii, et ja .