Nyquisti-Shannoni teoreem

Allikas: Vikipeedia
Mine navigeerimisribale Mine otsikasti

Nyquisti-Shannoni teoreem on digitaalses signaalitöötluses kasutatav teoreem, mis seob pidevaaja ja diskreetseaja signaale. Teoreem sätestab, milline peab olema diskreetimissagedus, et digitaalses signaalis oleks olemaks kogu teave piiratud ribalaiusega pideva signaali kohta.

Nyquisti-Shannoni teoreemi nimi on pühendatud Harry Nyquist ja Claude Shannonile, ehkki Vladimir Kotelnikov oli selle juba 1933. aastal avastanud. Iseseisvalt on teoreemi avastanud ka E. T. Whittaker ja teised. Teoreemi võib kohata ka Nyquisti-Shannoni-Kotelnikovi, Whittakeri-Shannoni-Kotelnikovi või Whittakeri-Nyquisti-Kotelnikovi-Shannoni teoreemi nimega.

Sissejuhatus[muuda | muuda lähteteksti]

Diskreetimiseks nimetatakse signaali (näiteks pideva aja või ruumi funktsioon) teisendamist väärtuste jadaks (diskreetse aja või ruumi funktsioon). Shannoni versioon teoreemist väidab:[1]

Kui funktsioon ei sisalda kõrgemaid sagedusi kui B hertsi, siis on see täielikult määratav punktidega, mille vahe on .

Seega piisavaks signaali rekonstrueerimiseks peab olema diskreetimissagedus suurem kui ehk , kus on diskreetimissagedus ja on signaali kõrgeim sagedus.

Kui diskreetimissagedus oleks aga suurem või puuduks, siis signaali rekonstrueerimisel tekiksid diskreetmoonutused. Teoreemi kaasaegne tõlgendus on väheke ettevaatlik, öeldes selgesõnaliselt, et ei tohi sisaldada sinusoidset komponenti, mis oleks täpselt sagedusega B, või et B peab olema rangelt väiksem kui ½ diskreetimissagedusest.

Diskreetmoonutused[muuda | muuda lähteteksti]

Next.svg Pikemalt artiklis diskreetmoonutus
Kahe sinusoidi lugemivõtmis punktid kattuvad, kui ühe sagedus on alla poole diskreetimissagedust.

Kui on funktsioon Fourier' teisenduses  :

siis Poissoni liitmisvalemi kohaselt saame asendada funktsiooniga , mis on piisav, et luua perioodiline summa. Seega saame:

X(f) (üleval sinine) and XA(f) (all sinine) on pidevate funktsioonide ja Fourier teisendused. Kui funktsioonidest võtta lugemeid diskreetimissagedusega , siis lisatakse algsele teisendusele (sinine) juurde diskreetse aja Fourier teisendused (DTFT) (roheline). Selles näites on DTFT samasugused, mis tähendab, et lugemi järjendid on identsed hoolimata sellest, et algne pidev eeldiskreeditud funktsioon ei ole. Kui need oleksid heli signaalid ja , siis nad ei pruugiks ühtemoodi kõlada. Kuigi mõlema diskreetimissagedus fs on samad ja annaksid taasesitades samasugused helid; xA(t) on diskreetmoonutus signaalist x(t) sama diskreetimissageduse juures.

mis on perioodiline funktsioon ja on võrdväärne Fourier' reaga, mille konfintsent on . Seda funktsiooni tuntakse ka kui diskreetse aja Fourier' teisendust (DTFT).

Kõrval oleval joonisel on näha, et funktsiooni on nihutatud võrra ja liidetud. Algse funktsiooni koopiad eristuvad juhul kui kehtib    ja on piisavalt suur. Kui aga Nyquisti kriteerium ei ole täidetud, siis külgnevad koopiad kattuvad ja sellisel juhul pole võimalik ühemõtteliselt eristada . Kõik sageduskomponendid, mis on kõrgemad kui , on eristamatud madalamatest sageduskomponentidest, neid kutsutaksegi diskreetmoonutusteks. Kui diskreetimissagedus on eelnevalt määratletud, siis on tavaliselt juba filtreeritud, et vähendada kõrgeid sagedusi sobivale tasemele. Selle jaoks kasutatakse madalpääsfiltrit.

Kriitiline sagedus[muuda | muuda lähteteksti]

Sinusoidide süsteem kriitilise lugemivõtmis sagedusega. Kõigil antud sinusoididel on ühtivad lugemivõtmis punktid, mis jäävad väärtustelt +1 ja -1 vahele. Nad kõik on üksteise diskreetmoonutused, isegi kui nende sagedused ei ületa poolt lugemivõtmisesagedust.

Näitamaks vajalikkust, vaatleme sinusoidide süsteemi, mis on saadud järgneva valemi järgi, kasutades erinevaid väärtusi:

Kasutades lugemivõtmissagedust või lugemitevahelist aega , saame tulemuseks

On näha, et lõpptulemus ei sõltu enam väärtustest. Selle pärast on vaja diskreetimisteoreemis ranget ebavõrdsustingimust.

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Shannon, Claude E. (jaanuar 1949). "Communication in the presence of noise". Proceedings of the Institute of Radio Engineers 37 (1): 10–21. doi:10.1109/jrproc.1949.232969.  Reprint as classic paper in: Proc. IEEE, Vol. 86, No. 2, (Feb 1998) [Webarchive]