Lineaarvõrratusesüsteem

Kui otsime arve, mis rahuldaksid samaaegselt mitut lineaarvõrratust, tuleb meil lahendada nendest võrratustest koosnev lineaarvõrratusesüsteem.

Lineaarvõrratuste süsteem koosneb kahest või enam lineaarvõrratusest.
Võrratuste süsteemilahendiks on iga arv, mille korral mõlemad võrratused osutuvad tõesteks arvvõrratusteks. Võrratuste süsteemi lahendihulk on vaadeldavate võrratuste lahendite ühisosa.

Näide:

${\begin{cases}2(x-3)-4\geq x-8\\x-5\leq 3x-7\end{cases}}$
Peale lihtsustamist saame:
${\begin{cases}x\geq 2\\x\geq 1\end{cases}}$
Kanname lahendid arvteljele ja loeme jooniselt ühise piirkonna.
Märkus: joonisel märgitakse range võrratus kaarega, mitterange võrratus täisnurgaga.
Kuna meil on mitteranged võrratused on joonise kaared tehnilistel põhjustel valed!
Vastuseks on arvuhulk, mis jääb kahekordse joone alla topeltviirutusena.
Vastus: x ∈ [2; ∞ )

Lineaarvõrratusesüsteemi rakendustest

Millise temperatuuriga tuleb võtta 10 l vett, et selle segamisel 6 l 15 kraadilise veega saaksime vee, mille temperatuur oleks üle 30 kraadi, kuid alla 40 kraadi? Kuna veekogused ei ole võrdsed, peame kasutama kokkuvalamisel tekkiva veetemperatuuri arvutamiseks kaalutud keskmist. Selle ülesande lahendamiseks moodustame lineaarvõrratusesüsteemi.

${\begin{cases}{\frac {10x+6\cdot 15}{16}}>30\\{\frac {10x+6\cdot 15}{16}}<40\end{cases}}$

${\begin{cases}{\frac {10x+90}{16}}>30\\{\frac {10x+90}{16}}<40\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}10x>390|:10\\10x<550|:10\end{cases}}$

Vastuseks saame, et 10 liitrit vett tuleb võtta temperatuurivahemikus $39^{\circ }<x<55^{\circ }$

Näide 2 :

Kolmnurga üks külg on 4cm ning kahe ülejäänud külje summa on 10 cm. Leidke kolmnurga küljed, kui need väljenduvad naturaalarvudena.

a= 4cm
b+c = 10
b=10-c
${\begin{cases}b+c>a\\a+c>b\\a+b>c\end{cases}}$
${\begin{cases}10>4\\4+c>10-c\\a+10-c>c\end{cases}}$
${\begin{cases}2c>6\\-2c>-14\end{cases}}$
${\begin{cases}c>3\\c<7\end{cases}}$
Teeme tabeli. Vastus : C ∈ [4;5;6 )

Lineaarvõrratusesüsteemi lahendamine

Näide 1

${\begin{Bmatrix}x-2<0\\3x+6\leq 0\end{Bmatrix}}$

Viime tundmatuga liikmed ühele poole ja vabalt liikmed teisele. Sellega muutub liigutatava arvu märk.

${\begin{Bmatrix}x<2\\3x\leq -6\end{Bmatrix}}$

Jagame alumise võrratuse läbi x ees oleva arvuga

${\begin{Bmatrix}x<2\\3x\leq -6/:3\end{Bmatrix}}$

Saame

${\begin{Bmatrix}x<2\\x\leq -2/\end{Bmatrix}}$

Näide 2

${\begin{Bmatrix}7y+3\geq 5(y-4)+1\\4y+1\leq 43-3(7+y)\end{Bmatrix}}$

Nüüd avame sulud

${\begin{Bmatrix}7y+3\geq 5y-20+1\\4y+1\leq 43-21-3y\end{Bmatrix}}$

Viime tundmatuga liikmed ühele poole ja vabalt liikmed teisele . Sellega muutub liigutatava arvu ja y märk

${\begin{Bmatrix}7y-5y\geq -3-20+1\\4y+3y\leq 43-21-1\end{Bmatrix}}$

Nüüd arvutame mõlemad pooled ära

${\begin{Bmatrix}2y\geq 22\\7y\leq 21\end{Bmatrix}}$

Jagame mõlemad võrratused läbi y eesoleva arvuga

${\begin{Bmatrix}2y\geq 22/:2\\7y\leq 21/:7\end{Bmatrix}}$

Saame

${\begin{Bmatrix}y\geq 11\\y\leq 3\end{Bmatrix}}$

Kirjandus

• Lepmann, L.; Lepmann,T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10. klassile. Tallinn, Koolibri. ISBN 9985-0-0978-9.{{cite book}}: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link)