Lainik

Allikas: Vikipeedia
Mine navigeerimisribale Mine otsikasti

Lainik on lõplik laine tüüpi võnkumine, mida saab kirjeldada lühikese ostsillatsioonina ehk võnkumisena. Lainikuid kasutatakse erinevate signaalide analüüsimiseks just eriti signaalitöötluses ning ka mitmetes matemaatikaharudes. Põhiliselt uuritakse lainikute abil signaale, mis on katkendlikud, lõplikud ning mis sisaldavad järske hüppeid ning kiireid muutusi ajas. Põhiline lainiku idee on see, et me saame analüüsida signaali vastavalt tema skaalale ning ehitusele. Lainikute abil on võimalik meil saada kätte infot kogu signaali kohta ning ka väga väikeste ning täpsete osade kohta.

Sarnaselt on võimalik kasutada Fourier' teisendusi, et signaali uurida, kuid erinevus tuleb just sellest, et Fourier' teisendusteks kasutatakse siinus ning koosinus laineid, et imiteerida algsignaali. Probleem tuleneb sellest, et Fourier' teisendus on oma olemuselt mitte-lokaalne ehk lõpmatu pikkusega (-∞, ∞). Ehk kui me uurime signaalis lühiajalisi drastilisi muutusi, siis ei saa me Fourier' teisendusega väga täpset tulemust. Samuti ei saa Fourier’ teisenduse abil signaali sageduskomponente ajas lokaliseerida, kuid lainikute abil on see võimalik. Sellejaoks kasutataksegi lainikuid ning nende abil tehtavaid matemaatilisi teisendusi, mida omakorda nimetatakse lainikute teisenduseks (wavelet-transform).

Ajalugu[muuda | muuda lähteteksti]

Haar'i lainik

Lainikud ning lainikute teisendused said alguse juba aastast 1909. Esimeseks lainiku autoriks nimetatakse Alfréd Haar'i, kelle järgi nimetati Haar'i lainik. Oma olemuselt on Haar’i lainik ruudu kujuliste signaalide järgnevus, mis kokku pannes moodustavad lainiku. Kuigi esimeseks lainikuks nimetatakse Haar’i lainikut, siis nimi „lainik“ ning lainikute uurimine tuli alles aastaid hiljem. Haar’i lainik on ka oma olemuselt kõige lihtsam. Selle abil on lihtsasti võimalik tuvastada väga kiireid muutusi signaalis, kuid sellega piirdub selle lainiku kasulikkus. See tuleneb sellest, et Haar’i lainik ei ole pidev.[1].

Termin lainik ning lainiku teisendus sai alguse prantsuse geofüüsikust Jean Morlet’ga, kes kasutas lainikud, et analüüsida maa seismilisi signaale, mis kandsid infot geoloogiliste kihtide osas. Morlet' alustas oma analüüsi erinevate akendatud Fourier' teisendustega kuid järeldas kiiresti, et tekkivate artefaktide hulk on liialt suur ning on vaja võtta kasutusele midagi rohkem täpsemat.

Lainiku tüübid[muuda | muuda lähteteksti]

Lainikut nimetatakse funktsiooniks Ψ(t), millel on kindel tingimus, et lainikul on lõplik energia. Valemina väljendub see järgmiselt.[2]


Lõpliku energia all mõistetakse seda, et lainikul on reaalteljel nii algne kui ka lõplik reaalarvuline väärtus. Selliseid lainikute definitsioone nimetatakse sageli ka ema-lainikuteks. Ema-lainikuid on mitut erinevat tüüpi


Lainikute teisendused[muuda | muuda lähteteksti]

Põhiline lainikute teisenduse idee seisneb selles, et tulemus pärast teisendust mõjutaks ainult aja kestvust, mitte kuju. Selle jaoks konstrueeritakse spetsiaalsete parameetritega funktsioonid, mis toetuvad ka signaalitöötluse määramatuse printsiibile [3]

kus t näitab aega ning ω näitab nurksagedust. Selle järgi saame teha järelduse: Kui Δt on suur, siis ajadomeeni täpsus väheneb ning sagedusdomeeni täpsus suureneb. Vastupidiselt kui Δt on väike, siis ajadomeenis saame täpsemad tulemused ning sagedusdomeenis vähem täpsemad tulemused.

Pideva lainiku teisendus[muuda | muuda lähteteksti]

Kui meil on lainikufunktsioon Ψ ning mingi suvaline signaal x(t), siis saame pideva lainiku teisenduse valemi konstrueerida järgmiselt:

kus Ψ(t) on pidev funktsioon nii aja kui ka sagedusdomeenis ning mida sageli nimetatakse ka ema-lainikuks. Parameeter a näitab lainiku skaleeritust ning b näitab nihet aja suhtes. [2]:


Lainikute kasutusalad[muuda | muuda lähteteksti]

Põhilised kasutusalad lainikute jaoks on signaalitöötluses ning erinevates matemaatikaharudes.

Signaalitöötluses kasutatakse lainikuid enamasti selleks, et algselt signaali mingil viisil töödelda. Näiteks saab kasutada ära lainikute omadusi, et algset signaali info poolest niimoodi vähendada, et signaali kuju ei lähe ei ajadomeenis ega sagedusdomeenis kaduma. Selle jaoks tuvastatakse signaali kõige vähem mõjutatavamad osad ning eemaldatakse need. Samuti on võimalik lainikute abil tuvastada piltide ääri, kuna lainikud on väga hästi kasutatavad sellistes kohtades, kus on kiired muutused (pildi ääred). [4]

Matamaatilise poole pealt on võimalik lainikute abil teha väga kiireid numbrilisi analüüse, näiteks diferentsiaalvõrrandite lahendamine. [5]

Viited[muuda | muuda lähteteksti]

  1. Tarmo Soomere. Lainikud löövad laineid, https://novaator.err.ee/587829/laboris-selgitati-kuidas-lainikud-laineid-loovad(02.04.2017)
  2. 2,0 2,1 P. S. Addison. The Illustrated Wavelet Transform Handbook (2017)
  3. Amara Graps. An Introduction to Wavelets, https://www.eecis.udel.edu/~amer/CISC651/IEEEwavelet.pdf, 2007.
  4. R.J.E. Merry. Wavelet Theory and Applications, http://www.mate.tue.nl/mate/pdfs/5500.pdf, 2005.
  5. Ali N. Akansu. Wavlet Transforms, https://www.sciencedirect.com/topics/computer-science/wavelet-transforms, 2001.