Lagrange'i keskväärtusteoreem

Allikas: Vikipeedia

Lagrange'i keskväärtusteoreem on üks matemaatilise analüüsi põhilisi tulemusi. Kõlab ta järgnevalt: kui funktsioon on pidev lõigus ning tal leidub lõplik tuletis vahemikus , siis leidub nii, et .

Tõlgendusi[muuda | muuda lähteteksti]

Geomeetriline tõlgendus[muuda | muuda lähteteksti]

Lagrange'i keskväärtusteoreem.svg

Geomeetriliselt ütleb Lagrange'i keskväärtusteoreem, et kui funktsioon on pidev mingis lõigus ning diferentseeruv vahemikus , siis leidub ja vahel niisugune arv , et funktsiooni graafiku puutuja kohal on paralleelne punkte ning läbiva lõikajaga.

Füüsikaline tõlgendus[muuda | muuda lähteteksti]

Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldustel leidub niisugune , et funktsiooni väärtuse muutumise kiiruseks punktis on teatavas mõttes funktsiooni väärtuse keskmine muutumise kiirus lõigus . Olgu näiteks funktsiooniks auto läbitud teepikkuse sõltuvus ajast. Eeldame, et autol on igal ajahetkel olemas lõplik hetkkiirus (s. t. funktsioon on kõikjal diferentseeruv; diferentseeruvusest järeldub ka pidevus). Lagrange'i keskväärtusteoreem ütleb nüüd, et kui auto keskmine kiirus teekonna jooksul oli 60 km/h, siis mingil ajahetkel selle teekonna jooksul oli auto hetkkiiruseks 60 km/h.

Tõestus[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu täidetud Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldused. Määratleme lõigus uue funktsiooni . Paneme tähele, et siis ning funktsioon on lõigus pidev ja omab vahemikus lõplikku tuletist, kusjuures iga korral . Rolle'i teoreemi põhjal leidub seega nii, et ehk , m. o. t. t.