Injektiivne funktsioon

Allikas: Vikipeedia
Jump to navigation Jump to search
Disambig gray.svg  See artikkel räägib matemaatika mõistest; geoloogia mõiste kohta vaata artiklit Injektsioon (geoloogia); teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Injektsioon (täpsustus)

Joonis illustreerib injektsiooni: hulga Y igal element on ülimalt üks originaal: elementidel A, B ja D on igaühel üks originaal, elemendil C ei ole ühtegi originaali.

Injektiivne funktsioon ehk injektiivne kujutus ehk injektsioon ehk üksühene kujutus on funktsioon, mille korral sihthulga iga elemendi puhul on olemas ülimalt üks (võib-olla mitte ühtegi) lähtehulga element , millele funktsioon teda vastavusse seab (), ehk teiste sõnadega, mille korral lähtehulga kahele eri elemendile ei seata kunagi vastavusse sihthulga üht ja sedasama elementi. Injektiivne funktsioon on injektiivse seose erijuht.

Injektiivse funktsiooni sihthulgal ei saa olla väiksem võimsus kui lähtehulgal, sest muidu ei jätkuks sihthulgas kõigi lähtehulga elementide jaoks elemente.

Injektiivse funktsiooni kujutis võib olla sihthulga pärisalamhulk. Teiste sõnadega, võib olla elemente , mis ei ole kujutised , (nii on ka joonisel). Selle poolest erineb injektiivne funktsioon bijektiivsest funktsioonist, mille puhul peale injektiivsuse nõutakse veel, et sihthulga iga element on kujutis .

Funktsiooni injektiivsust tähistatakse mõnikord märgiga , mis on koostatud märkidest ja . See meenutab hulga sisestamist ülemhulka funktsiooni abil, mis kujutab hulga iga elemendi temaks endaks: .

Formaalsed definitsioonid[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu ja hulgad ning funktsioon hulgast hulka .
Järgmised definitsioonid on samaväärsed:

  • Funktsiooni nimetatakse injektiivseks, kui iga -i korral hulgast eksisteerib ülimalt üks hulgast , nii et . ("Ülimalt üks" tähendab 'mitte ühtegi või täpselt üks, kuid mitte rohkem.)
    Formaalselt:
  • Funktsiooni nimetatakse injektiivseks, kui funktsiooni väärtuste (muutuja väärtuste) võrdusest järeldub funktsiooni argumendi väärtuste võrdus.
    Formaalselt:
  • Funktsiooni nimetatakse injektiivseks, kui argumendi erinevad väärtused kujutatakse alati erinevateks funktsiooni väärtusteks.
    Formaalselt:

Kui injektiivsuse tõestamiseks kasutatakse kolmandat tõestust, viib see sageli vastuväitelise tõestuseni. Otsene tõestus teise definitsiooni abil võib olla elegantsem ja lühem.

Näiteid ja mittenäiteid[muuda | muuda lähteteksti]

Mitteinjektiivne funktsioon
  • Iga funktsioon kaheelemendilisest hulgast üheelemendilisse hulka on mitteinjektiivne.
  • Mittematemaatiline näide. Funktsioon, mis seab igale Eesti isikukoodiga inimesele vastavusse tema isikukoodi, on injektiivne, kusjuures sihthulgaks võetakse kõigi isikukoodiks kõlblike arvude hulk. (Eeldame, et ühtki isikukoodi ei rakendata mitu korda.)
  • Olgu naturaalarvude hulk ja täisarvude hulk.
Funktsioon on injektiivne.
Funktsioon on injektiivne.
Funktsioon on injektiivne.
Funktsioon ei ole injektiivne, sest näiteks .

Omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Injektiivsus sõltub ainult graafikust[muuda | muuda lähteteksti]

Funktsiooni injektiivsus sõltub ainult graafikust (erinevalt sürjektiivsusest, mis sõltub ka sihthulgast , mille üle graafiku järgi ei saa otsustada).

Injektiivsuse tunnused[muuda | muuda lähteteksti]

Funktsioon on injektiivne parajasti siis, kui kõikide alamhulkade korral .

Funktsioon on injektiivne parajasti siis, kui kõikide korral .

Kategooriateooriaga seotud omadused[muuda | muuda lähteteksti]

Kui funktsioonid ja on injektiivsed, siis ka nende funktsioonide kompositsioon on injektiivne.

Kui on injektiivne, siis on injektiivne.

Funktsioon , mille lähtehulk on mittetühi, on injektiivne parajasti siis, kui funktsioonil on vasakpoolne pöördelement, st funktsioon mille korral , kus on samasuskujutus hulgal . Hulkade kategoorias Set tähendab see tingimus, et injektsioonid on selle kategooria vasakult pööratavad morfismid ehk koretraktsioonid.