Liitfunktsioon

Allikas: Vikipeedia
(Ümber suunatud leheküljelt Funktsioonide kompositsioon)
Jump to navigation Jump to search

Liitfunktsiooniks ehk funktsioonide ehk kujutuste kompositsiooniks nimetatakse matemaatikas funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel.

Definitsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu , ja mingid hulgad. Funktsioonide ning liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni , et iga korral.

Funktsiooni nimetatakse siin välimiseks, funktsiooni sisemiseks funktsiooniks. Funktsioonide ja liitfunktsiooni tähistatakse sageli . Mingite funktsioonide ja liitfunktsiooni või nende liitfunktsiooni väärtuste leidmist nimetatakse ka funktsioonide ja järjest rakendamiseks.

Miks liitfunktsiooni argument ei ole (üldjuhul) funktsioon[muuda | muuda lähteteksti]

Olgu mingi suurus x (mille muutumispiirkond olgu X) määrab üheselt ära suuruse u (mille väärtused kuulugu hulka U) ning suurus u määrab üheselt ära suuruse y (mis omandab väärtusi hulgast Y). Siis võime suurust y vaadelda funktsioonina suurusest u ning suurust u funktsioonina suurusest x. Et suurus on funktsioon suurusest , siis omab mõtet avaldis , mis tähistab suuruse väärtus suuruse mingi etteantud väärtuse korral. Samas u on funktsioon suurusest x, seega funktsiooni y argument oleks justkui funktsioon.

Eelnev arutluskäik ei ole aga matemaatiliselt korrektne (vähemalt mitte selles mõttes, nagu mõiste "funktsioon" tavaliselt defineeritakse), sest "funktsioonide" all ei mõisteta matemaatikas ranges mõttes mitte mingeid funktsionaalselt seotud suurusi, vaid eeskirja ühe suuruse põhjal teise suuruse leidmiseks (vaata artiklit Funktsioon (matemaatika)).

Eeltoodud arutluses tekitab segadust sõnastus "suurus on funktsioon suurusest ". Seda väljendit ei ole õige sõna-sõnalt tõlgendada - väide suurus on funktsioon hulgal ei ole õige. Tõepoolest, kui hulkadeks ja oleks kõigi reaalarvude hulk (füüsikalisi suurusi vaadeldakse ju tavaliselt reaalarvudena - näiteks võime suuruseks võtta mingi keha asukoha ja suuruseks kulunud aja), siis saaksime, et suurus on korraga reaalarv ja funktsioon reaalarvust (ehk teisisõnu, eeskiri, mis seab igale reaalarvule vastavusse mingi reaalarvu) - vastuolu, sest meil ei ole mingit alust samastada reaalarve reaalmuutuja funktsioonidega. Näiteks keha asukoht mingil ajahetkel ei ole ju eeskiri reaalarvule reaalarvu vastavusse seadmiseks, vaid lihtsalt reaalarv.

Õige on väljendit "suurus on funktsioon suurusest " mõista nii: suuruse saab esitada funktsioonina suurusest , s. t. leidub mingi funktsioon , nii et alati kehtib seos . Sellisel juhul leiduvad meie näites funktsioonid ja nii, et ja . Suuruse saab suuruse kaudu avaldada siis liitfunktsiooni abil: . Siin aga on funktsiooni argumendiks on ikkagi reaalarv, mitte funktsioon .

Tähistused ja nimetused algebras ning matemaatilises analüüsis[muuda | muuda lähteteksti]

Algebras ja matemaatilises analüüsis on liitfunktsiooni jaoks veidi erinevad nimetused ja tähised.

Sõna liitfunktsioon kasutatakse põhiliselt matemaatilises analüüsis (algebras kasutatakse sõna funktsioon asemel tavaliselt sõna kujutus), sõna kompositsioon kasutatakse nii algebras kui analüüsis.

Algebras nimetatakse kujutuste kompositsiooni sageli ka lihtsalt nende kujutuste korrutiseks, kujutuste järjest rakendamist nende kujutuste korrutamiseks ning kujutuste ja korrutist tähistatakse sageli lihtsalt nende järjestkirjutisena (samamoodi nagu nt. reaalarvuliste muutujate ja korrutist tähistatakse ). Niisugust tähistust võib põhjendada sellega, et kujutuste järjest rakendamist vaadeldakse algebras sageli tehtena mingil kujutuste hulgal; seda tehet tähistatakse tavaliselt korrutustehtena.

Matemaatilises analüüsis seevastu mõeldakse funktsioonide ja korrutise all niisugust funktsiooni , et iga jaoks funktsiooni määramispiirkonnast. Seepärast ei saa matemaatilises analüüsis sõna korrutis liitfunktsiooni kohta kasutada.

Näited[muuda | muuda lähteteksti]

  • Funktsiooni , võime vaadelda liitfunktsioonina , kus , ning , .
  • Funktsiooni võime esitada kolme funktsiooni liitfunktsioonina: , kus , ning . Õige on ka ; võime ka üldse sulud ära jätta ning kirjutada , sest funktsioonide järjest rakendamise assotsiatiivsuse tõttu võib avaldises sulge suvaliselt ümber paigutada.
  • Funktsiooni võib esitada samamoodi nelja funktsiooni liitfunktsioonina: , kus , , ning .
  • Kui mingil kujutusel leidub pöördkujutus , siis iga jaoks ning iga jaoks. Seega kujutus on samasusteisendus hulgal ning on samasusteisendus hulgal .
  • Kui üks funktsioonidest ja on konstantne, siis ka nende funktsioonide liitfunktsioon on konstantne.

Liitfunktsiooni tuletis[muuda | muuda lähteteksti]

Kui ja on reaalmuutuja funktsioonid ning funktsioonil on lõplik tuletis kohal ja funktsioonil on lõplik tuletis kohal , siis funktsioonil on lõplik tuletis kohal ning .

Sellest valemist saab järeldada ka valemid rohkema arvu funktsioonide liitfunktsioonide tuletise leidmiseks: näiteks kui leiduvad lõplikud , ja , siis jne.

Samad liitfunktsiooni tuletise valemid kehtivad ka tuletise mõiste üldistuste jaoks, näiteks kompleksmuutuja funktsioonide liitfunktsiooni tuletise jaoks.