Implikatsioon

Venn diagram of the truth function of the material conditional $A\rightarrow B$. The circle on the left bounds all members of set $A$, and the one on the right bounds all members of set $B$. The red area describes all members for which the material conditional is true, and the white area describes all members for which it is false. The material conditional differs significantly from a natural language's "if...then..." statement. It is only false when both the antecedent $A$ is true and the consequent $B$ is false

Implikatsioon ehk materiaalne implikatsioon on tõeväärtuste algebras ehk loogikaalgebras binaarne tehe, mille tulem on väär parajasti siis, kui tehte esimene operand on tõene ja teine operand on väär.

Implikatsiooni saab tähistada järgnevalt:

1. 𝑝 ⊃ 𝑞 (Seda sümbolit kasutatakse ka alamhulga-ülemhulga seose tähistamiseks hulgateoorias);
2. 𝑝 ⇒ 𝑞
3. C𝑝𝑞 (kasutades poola kuju)

Ülal tähistatud implikatsioonitehete juures kutsutakse lausemuutujaid järgmiselt:

• p on implikatsiooni eeldus (ehk antetsedent ehk alus) ja
• q on implikatsiooni järeldus (ehk konsekvent ehk tagajärg).

Klassikalises loogikas on lausearvutuse valem $p\rightarrow q$ samaväärne tehtega $\neg (p\land \neg q)$ ning De Morgani seadust kasutades on see ekvivalentne tehtega $\neg p\lor q$.

Loomulikus keeles vastab implikatsiooni tehtele kõige lähedamalt lausekonstruktsioon "kui ..., siis ...". Nt "Kui täna on esmaspäev, siis homme on teisipäev."

Definitsioonid

Loogikutel on erinevad vaated materiaalse implikatsiooni olemusest ja erinevad lähenemised selle kirjeldamiseks.

Boole'i funktsioonina

Klassikalises loogikas on tehe p→q loogiliselt ekvivalentne lausega: mitte p ja q eitus korraga. Seega on tehe p→q väär parajasti siis, kui p on tõene ja q on väär. Samal põhjusel on p→q tõene siis ja ainult siis, kui p on väär või q on tõene (või mõlemad korraga). Seega on → funktsioon, mis võtab argumendiks tõeväärtuste paari p, q ning viib selle vastavusse tõeväärtusega p→q, mille tõeväärtus sõltub vaid argumentide tõeväärtustest. Seega sellist interpretatsiooni kutsutakse tõefunktsionaalseks.

Tõeväärtustabel

Implikatsiooni p→q tõeväärtustabel on järgmine:

$p$ $q$ $p\rightarrow q$ TÕENE TÕENE TÕENE TÕENE VÄÄR VÄÄR VÄÄR TÕENE TÕENE VÄÄR VÄÄR TÕENE

Tasub mainida, et Boole'i algebras võib tõeväärtusi tõene ja väär kujutada ka numbrite 1 ja 0 abil, vastavalt.

Omadused

• kommutatiivsus: ei
• assotsiatiivsus: ei
• distributiivsus: iseendaga jah. $(s\rightarrow (p\rightarrow q))\rightarrow ((s\rightarrow p)\rightarrow (s\rightarrow q))$
• transitiivsus: jah. $(a\rightarrow b)\rightarrow ((b\rightarrow c)\rightarrow (a\rightarrow c))$
• refleksiivsus: jah. $a\rightarrow a$
• tõesust säilitav: jah
• eelduste kommutatiivsus: jah.$(a\rightarrow (b\rightarrow c))\equiv (b\rightarrow (a\rightarrow c))$

Filosoofilised probleemid implikatsiooniga

Klassikalise loogika materiaalse implikatsiooni definitsiooni kasutades on võimalik koostada valemeid, mis on loogiliselt tõesed, kuid millest on intuitiivselt keeruline aru saada. Neid kutsutakse implikatsiooniparadoksideks. Need on näiteks:

$p\rightarrow (q\rightarrow p),\neg p\rightarrow (p\rightarrow q),(p\rightarrow q)\lor (q\rightarrow p)$

Idee paradoksidega tegelemiseks pakkus välja vene filosoof Ivan Jefimovitš Orlov, ja sellist loogika ülesehitust kutsutakse relevantsusloogikaks (relevance logic). Relevantsusloogikaid on mitmeid ning nendes nõutakse, et tehtest $p\rightarrow q$ räägitaks ainult siis, kui on tagatud, et q tõestamise juures läheb vaja p-d.

Lisalugemine

• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
• Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
• Quine, W.V. (1982), Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.
• Stalnaker, Robert, "Indicative Conditionals", Philosophia, 5 (1975): 269–286.