Hilberti teoreem nullkohtadest
Hilberti teoreem nullkohtadest ehk Hilberti teoreem juurtest on teoreem, mis seob algebralise hulga mõiste ideaaliga polünoomide ringis üle algebraliselt kinnise korpuse. See teoreem on algebralise geomeetria alus.
Teoreemi tõestas esimest korda David Hilbert (Mathematische Annalen, 1893, kd 42, lk 313—373) ja see on nimetatud tema auks.
Sõnastus
[muuda | muuda lähteteksti]Olgu mis tahes korpus (näiteks ratsionaalarvude korpus) ja olgu selle korpuse algebraliselt kinnine laiend (näiteks kompleksarvude korpus). Vaatleme ringi – n muutuja polünoomide ringi kordajatega korpuses , olgu ideaal selles ringis. Algebraline hulk , mille see ideaal määrab, koosneb kõigist niisugustest punktidest et mis tahes korral. Hilberti teoreem nullkohtadest väidab, et kui mingi polünoom nullistub hulgal , st kui kõigi korral, siis leidub niisugune naturaalarv , et .
Vahetult järeldub teoreemi "nõrk kuju": kui on pärisideaal ringis , siis ei saa olla tühi hulk, st on olemas nullkoht antud ideaali kõigi polünoomide jaoks (tõepoolest, vastasel juhtumil on polünoomil juured kõikjal hulgas , järelikult tema aste kuulub ideaali ). See asjaolu ongi teoreemile nime andnud. Üldise juhtumi võib nõrgast kujust tuletada nn Rabinowitschi triki abil.
Eeldus, et korpus on algebraliselt kinnine, on oluline: pärisideaali elementidel üle korpuse ei ole ühist nullkohta.
Kommutatiivse algebra standardses teoorias võib Hilberti teoreemi nullkohtadest sõnastada nii: iga ideaali korral kehtib valem
kus on ideaali radikaal ja on ideaal, mis koosneb kõigist polünoomidest, mis hulgal võrduvad nulliga.
Sellest järeldub, et tehted ja annavad bijektiivse, järjestust pöörava vastavuse algebraliste hulkade hulgas ja radikaalsete ideaalide vahel ringis .